Деформация твердых тел

О деформации твердых тел мы говорили в первой части курса в разделе «Механика сплошных сред». Здесь мы рассмотрим это явление с молекулярной точки зрения и исходя из молекулярных представлений получим закон Гука.

Особенностью твердых тел, отличающей их от жидкостей и газов, является свойство сохранять свою форму. Однако все реальные твердые тела не являются абсолютно твердыми и под действием внешних сил они могут изменять свою форму и размеры – деформироваться. Если после прекращения действия силы деформации исчезают, их называют упругими, в противном случае – пластическими. Деформации реальных тел всегда пластические, так как после прекращения действия сил не исчезают полностью. Однако если действующие силы не превосходят некоторого характерного для каждого тела значения, называемого пределом упругости, остаточными деформациями можно пренебречь и считать их упругими. Существует несколько видов деформации: растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб и кручение. Но все они могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям сжатия или растяжения и сдвига.

Ограничимся здесь рассмотрением деформации сжатия–растяжения. Пусть имеем стержень, один конец которого закреплен, а на другой действует внешняя растягивающая или сжимающая сила F. В пределах упругих деформаций, как известно, справедлив закон Гука, согласно которому величина растяжения или сжатия ∆ l пропорциональна действующей внешней силе:

Коэффициент k называется жесткостью стержня. Он зависит как от природы материала стержня, так и от его длины l и площади поперечного сечения S: Величина E характеризует упругие свойства материала стержня и называется модулем Юнга. С учетом этого закон Гука можно привести к виду

Его можно записать и иначе, если ввести величину ε = ∆ l / l, называемую относительным удлинением (укорочением) стержня или линейной деформацией, и приложенное к стержню напряжение, определяемое как Тогда получим

Следовательно, линейная деформация стержня пропорциональна приложенному напряжению.

Так как после удлинения (сжатия) на величину ∆ l под действием силы F стержень оказывается в состоянии равновесия, то это значит, что при деформации стержня в нем возникают силы N, которые в любом поперечном сечении стержня будут равны по величине и противоположны по направлению внешней силе F. Эти силы называются внутренними упругими силами – силами, с которыми части стержня действуют друг на друга. Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия, возникающие при изменении межатомных расстояний вследствие воздействия на стержень внешних нагрузок: N ≡ F _упр = – F.

Как уже отмечалось, характер сил взаимодействия между структурными частицами твердого тела таков, что эти силы на относительно больших расстояниях являются силами притяжения, а на относительно малых – силами отталкивания (рис. 8.2, а). Поэтому эти силы препятствуют как удалению частиц друг от друга, так и слиянию их друг с другом. При некотором расстоянии r = r ₀, примерно равном диаметру атома, силы притяжения уравновешивают силы отталкивания, и результирующая сила, действующая на атом, равна нулю: f (r ₀) = 0. Потенциальная энергия взаимодействия атомов при этом имеет минимальное значение. Поэтому это положение есть положение устойчивого равновесия частиц. При действии на кристалл внешней силы расстояние между частицами становится либо больше, либо меньше равновесного расстояния, что приводит к нарушению равенства сил притяжения и отталкивания и возникновению результирующих внутренних упругих сил, стремящихся вернуть частицы в первоначальное положение равновесия. Это видно на рис.8.2. При удалении частиц друг от друга на расстояние r > r ₀ сила взаимодействия f < 0, т.е. будет направлена в сторону положения равновесия. При сближении частиц до расстояния r < r ₀ сила взаимодействия f > 0, т.е. опять-таки будет направлена в сторону положения равновесия. Как видим, в обоих случаях возникает возвращающая сила. При небольших смещениях из положения равновесия , т.е. вблизи точки равновесия, кривую потенциальной энергии взаимодействия частиц можно разложить в ряд Тейлора по степеням и ограничиться первыми тремя членами. Тогда учитывая, что получим

где Коэффициент α зависит от конкретного вида закона взаимодействия частиц данного вещества и называется жесткостью межатомной связи. Сила, действующая на частицу, Следовательно, при малых смещениях частицы из положения равновесия на нее будет действовать возвращающая сила пропорциональная величине этого смещения.

Если стержень равномерно растянуть (или сжать) на длину ∆ l << l, то расстояние между каждыми соседними атомными плоскостями изменится на x. Во всем сечении стержня возникнет упругая сила

где N _S – число атомов, находящихся в поперечном сечении стержня. Для удержания стержня в деформированном состоянии к нему следует приложить точно такую же положительную силу Представим это выражение в виде

Учитывая, что равно площади поперечного сечения стержня S (предполагается, что на каждый атом приходится кубик со стороной r ₀), а (чтобы в этом убедиться, следует умножить числитель и знаменатель дроби на число атомных слоев толщиной r ₀, укладывающихся на длине стержня l), получим . Откуда . Тем самым мы пришли к закону Гука. Коэффициент представляет собой модуль Юнга. Как видим, он определяется характером сил межатомной связи.

В формуле закона Гука вместо внешней силы F можно брать внутреннюю силу N. В этом случае величину называют внутренним напряжением.

Что касается пластических деформаций, то хотя они и возникают при растяжении или сжатии, но причиной их появления являются не растяжения или сжатия как таковые. Они возникают при приложении к кристаллу касательных напряжений, вызывающих смещение одних частей кристалла по отношению к другим без нарушения связи между ними. Такое смещение называют скольжением. Когда сдвигающие силы, действующие на противоположные грани кристалла, превышают некоторую величину, называемую пределом упругости, происходит сдвиг одной части кристалла относительно другой на одно или несколько атомных расстояний. После снятия внешней нагрузки упругие напряжения решетки исчезают, однако одна часть кристалла остается смещенной относительно другой. Из таких малых необратимых смещений, происходящих во многих атомных плоскостях, и складывается остаточная деформация кристалла в целом. Способность кристалла к пластической деформации определяется в основном характером сил связи между его структурными частицами.

.