Потужність континуума

Теорема. Множина U= не еквівалентна множині натуральних чисел N.

Доведення. Припустимо, що U = [0;1] - зчисленна і її елементи можна представити у вигляді послідовності x_l,x₂,...,x_n,.... Розглянемо , виберемо довільне ціле число від 1 до 8 включно, відмінне від j–го десяткового знака числа х_j. Таким чином, що - десятковий дріб відмінний від х_n,(так як n-й знак відмінний від 0,9 і n-го знака х_n).

Числа 0 і 9 не використовуються, так як у противному випадку можливий різний запис числа (0,10200...=0,101999...). Отже, x_l,x₂,...,х_j,... не містить число , це протиріччя свідчить, що наше припущення невірно, тобто U N

Означення. Множини, еквівалентні [0; 1] - множини потужності континуум, нижче це будемо позначати card A=c.

Приклад. Враховуючи приклади та властивості з лекції 4 маємо:

1. card = c;

2. card[0;l] = card[0;l) =... = card R = c;

3. Множина трансцендентних чисел нескінчена і має потужність с.