Теорема про множину як завгодно великої потужності

Означення. Потужність X менша за потужність Y (card X < card Y), якщо card X card Y

і card X card Y.

Для будь-якої множини Х. Позначимо P(X)- множину всіх підмножин множини Х.

Теорема (Кантор). Потужність не порожньої множини Х менша потужності множини усіх її підмножин: card X < card P (X).

Доведення. Оскільки Р(Х) містить одноелементні підмножини, то card X card P(X). Доведемо, що card X card P(X), тобто Х Р(Х). Припустимо супротивне - бієкція. Розглянемо

. Оскільки А Р(Х), то такий, що (а) =А.

Тоді:

1. якщо (за означенням А);

2. якщо (за означенням А).

Отримали протиріччя, що й доводить теорему.

Розглянемо найбільш важливі трансфінітні (потужності нескінчених множин) потужності.