Задачі для самостійного рішення

1. Установити взаємно – однозначна відповідність між N і множиною чисел, які поділяються на 3 із залишком 2.

2. Установити взаємно – однозначна відповідність між крапками концентричних окружностей.

3. Установити взаємно – однозначна відповідність між сферою з виколотим полюсом і площиною.

4. Побудувати взаємно – однозначна відповідність окружності одиничного радіуса на відрізок [0,1].

5. Установити взаємно – однозначну відповідність між відкритим одиничним колом і замкнутим одиничним колом.

6. Знайти взаємно – однозначну відповідність між замкнутим одиничним колом і доповненням до відкритого одиничного кола.

7. Довести, що множина кіл площини з раціональними радіусами і координатами центра – зліченна.

8. Довести, що множина непересічних трикутників площини – зліченна.

9. Довести, що якщо відстань між будь-якими двома крапками множини Е на прямої більше 1, то множина Е кінцева чи зліченна.

10. Нехай Е зліченна множина на . Чи можна зрушити цю множину на величину а (тобто замінити всі крапки х Е на х + а) так, щоб отримана множина Е_а не перетиналася з Е?

11. Довести, що множина дробова – раціональних функцій , де ,b, Q, a,m,n N – зліченна.

12. Довести, що довільний замкнутий квадрат на площині має потужність континуума.

13. Довести, що множина усіх кінцевих підмножин зліченної множини – зліченна. А множина усіх підмножин зліченної множини має потужність континуума.

14. Яка потужність множини всіх кінцевих послідовностей дійсних чисел.

15. Яка потужність усіх відрізків на числовій прямій?

16. Яка потужність множини всіх кіл на площині?

17. Яка потужність усіх правильних багатокутників на площині?

18. Довести, що множина дробово–раціональних функцій (див. задачу 11) з дійсними коефіцієнтами має потужність континуум.

19. Яка потужність множини всіх послідовностей дійсних чисел.

20. Довести, що множина усіх числових функцій, визначених на [ a,b ] має потужність гіперконтинуума.