Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум

Необхідні відомості: Визначення взаємно – однозначної відповідності множин. Еквівалентні множини. Визначення потужності і її властивості. Зчисленні множини і їх властивості. Існування множини, яка не є зчисленною. Потужність континуума, Властивості множин потужності континуум.

Задачі:

1. Взаємно однозначні відповідності. Еквівалентність множин.

1.1 Установити взаємно - однозначна відповідність між N і Q.

1.2 Знайти взаємно – однозначне відображення [0,1) на [0,1].

1.3 Знайти взаємно – однозначна відповідність [0,1) на .

1.4 Установити взаємно – однозначна відповідність між окружністю і прямою.

2. Потужність множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум.

2.1 Яка потужність множини всіх кінцевих десяткових дробів.

2.2 Яка потужність множини всіх трикутників на площини, вершини яких мають раціональні координати.

2.3 Довести, що множина усіх многочленів з раціональними коефіцієнтами зчисленне.

2.4 Довести, що множина непересічних відрізків на прямої зчисленна.

2.5 Довести, що множина усіх строго зростаючих послідовностей натуральних чисел має потужність континуума.

2.6 Довести, що будь-яка опукла множина на площині має потужність континуума.

2.7 Яка потужність множини всіляких багаточленів (з довільними коефіцієнтами)?