Означення кардинального числа (потужності множини)

Означення. Множини X і Y називаються еквівалентними (X~Y) якщо існує бієкція , (тобто співставляється елемент у Y, причому різним х співставленні різні у і кожен у Y співставленний деякому хєX).

Введене відношення є відношенням еквівалентності (воно задовольняє умовам рефлексивності, симетричності і транзитивності).

Теорема. Нехай при кожному n множини B_n еквівалентні множинам A_n тоді .

Доведення. З метою спрощення сприйняття доведення будемо припускати, що множина B_n та A_n попарно не перетинаються.

Нехай - бієкція і B_n →A_n, тоді , якщо буде бієкцією: . Тобто В~А.

Відношення еквівалентності розбиває сукупність усіх множин на класи еквівалентності. Множини одного класу еквівалентності мають однакову кількість елементів (рівнопотужні), а різних класів - різну кількість.