Раздел 2. Случайные величины

Тема 1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (Д.с.в.)

1) Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить ряд и многоугольник распределения числа попаданий в цель.

2) В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно вынимают шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник распределения числа извлеченных шаров.

3) В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу извлекли три шара. Найти: а) ряд распределения числа извлеченных белых шаров; б) вероятность события А ={извлечено не менее 2-х белых шаров}; в) записать функцию распределения и построить ее график.

4) Дискретная случайная величина X задана рядом распределения:

хi	-2
pi	0,08	0,40	0,32	0,2

Найти:

а) функцию распределения F(x);

б) вероятности событий А ={ X <2}, В ={1≤ X <3}; C ={1< X ≤3}

в) построить график функции F(x).

5) Даны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин X и Y:

хi					yj	-2	-1
pi	0,3	0,5	0,2		pj	0,4	0,6

Найти законы распределения случайных величин:

a)Z = X + Y; б)W = X*Y.

6) Дискретная с.в. Х имеет ряд распределения:

хi		p/4	p/2	Зp/4	p	5p / 4	Зp / 2
pi	1/16	1/8	3/16	1/4	3/16	1/8	1/16

Построить:

а) ряд распределения с. в. Y = sin (X – p/4 );

б) график функции распределения с. в. Y.

7) Построить ряд распределения для случайных величин Z = X + Y и W = X*Y, если X и Y – независимые случайные величины, заданные рядами распределения:

хi				yj
pi	0,3	0,7		pj	0,4	0,6

Найти условную вероятность события { Z < 4} при условии,
что { Z > 2}.

8) Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа очков, засчитанных стрелку.

9) Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попада­ния при одном ударе равна 0,7.

10) В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределения и функцию распределения числа перворазрядников среди выбранных.

11) Подбрасывают две монеты. Найти функцию распределения с.в. Х – числа выпадений герба.

12) Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,4. Построить ряд распределения числа библиотек, которые он может посетить, если ему доступны четыре библиотеки.

13) Задана функция распределения с. в. Х. Найти ряд распределения, а также вероятности P{X=1},P(1<x≤8}.

а) б)

14) Дискретная с.в. Х задана рядом распределения

xi	1,1	1,4	1,7	2,0	2,3
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Построить многоугольник распределения, график функции распределения, найти вероятности P{ X >1,4}, P{1,4≤ Х ≤2,3}.

15) Задано распределение дискретной случайной величины Х:

хi	-3	-1
pi	0,05	0,20	0,25	0,30	0,15	0,05

Найти распределение случайных величин а) Y=|X|; б) Z=X³+1.

16) Найти функцию распределения с. в. Y = sin (p/3*Х), где с.в. X – число очков, выпадающее при бросании игральной кости.

17) В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

18) Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y

хi				и	yj
pi	0,2	0,4	0,4		pj	0,3	0,3	0,4

Найти:

а) функцию распределения с.в. X;

б) ряд распределения случайных величин Z = X +Y; W= Х–Y;

в) P{|X-Y|<=2}

г) построить многоугольники распределения с.в. Z и W.

19) Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения и функцию распределения д. с. в. X — числа выпадений четного числа очков.

Тема 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (Н.с.в.)

1) Задана функция распределения н.с.в. X:

Найти:

а) коэффициент С;

б) плотность распределения f(х) с. в. X и построить графики функций F (x)и f (х);

в) Р { Х [3,4)}.

2) Задана функция распределения н.с. в. X:

.

Найти: а) значения постоянных а и с;

б) плотность распределения f(х);

в) P₁ , P₂{X=p/2007}.

3) Дана плотность распределения с. в. X: .

а) Определить постоянную b,

б) найти функцию распределения F(x) и построить ее график,

в) вычислить вероятность того, что с.в. X примет значение, удовлетворяющее условию: в1) X < 3,3; в2) 3,3 < X < 7,8.

4) Непрерывная случайная величина X распределена «по закону прямоугольного треугольника» на интервале (0,4); на рисунке изображена плотность распределения этой с.в. Найти:

а) значение у_о;

б) аналитическое выражение для плотности f(x) и функции распределения F(x). Построить график F(x).

5) Случайная величина X задана функцией распределения Найти: значения А и В, плотность распределения н.с.в. X,вероятность события С= { X (3;5)}.

6) При каких значения параметров k и b функция может быть функцией распределения некоторой непрерывной с.в. X? Найти вероятность того, что с.в. X примет значение, заключенное в промежутке (-2,3; 1,5). Построить график плотности распределения этой случайной величины.

7) Задана плотность распределения н.с.в. X:

Найти А, F(х), Р{-2 < X < 1}

8) Задана плотность распределения н. с. в. X: . Что вероятнее: попадание с.в.Х в интервал (1,6; 1,8) или в интервал (1,9; 2,6)?

9) При каком значении параметра С функция может быть плотностью распределения некоторой непрерывной с. в. X? Найти Р{1 < X < 5}.

10) Непрерывная с.в. Х имеет плотность распределения вероятностей Найти функцию распределения вероятностей F(x); построить графики f(x) и F(x).

11) Плотность вероятности с. в. X имеет вид

x R.

Найти значение параметра а, функцию распределения F(x).

12) Случайная величина X имеет плотность распределения .

Найти: а) значение параметра с;

б) функцию распределения F(x);

в) Р {1 <Х < 5}.

13) График плотности распределения н.с.в. X имеет вид, изображенный на рисунке. Записать аналитическое выражение для плотности распределения f(x).