Тема 6. Закон больших чисел и предельные теоремы

Неравенство Маркова

1) Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20лет.

2) Математическое ожидание скорости ветра у земли в данном пункте равно. 8 м/сек. Оценить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра будет: а) более 30 м/сек; б) не превзойдет 32 м/сек.

3) Вероятность того, что в данной местности в течение года выпадает осадков более 1200 мм, не более 1/3. Определить среднее количество осадков, выпадающих в этой местности в год.

4) Средний расход воды в населенном пункте составляет 50000л. С вероятностью, не менее 0,583, найти число, ограничивающее расход воды в этом пункте.

5) У некоторого стрелка при стрельбе из винтовки среднее отклонение от центра мишени составляет 6 см. Вероятность попадания им в круговую мишень не менее 0,6. Определить радиус этой мишени.

6) В среднем в сутки укладывается 1000 м водопроводных труб. Определить вероятность того, что в ближайшие сутки будет уложено водопроводных труб: а) менее 1200 м; б) более 1500 м.

7) Вероятность того, что в данном пункте скорость ветра не превысит 80 км/час,не менее 0,8. Определить среднюю скорость ветра в этом пункте.

8) Вероятность того, что в течение года количество солнечных дней на Черноморском побережье Кавказа будет более 280, не превысит 6/7. Найти среднее число солнечных дней в году в этом месте.

Неравенство Чебышева.

9) Производятся 800 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что отклонение числа попаданий от математического ожидания по абсолютной величине: а) не превысит 40; б) превысит 40.

10) Суточный расход горючего в РТС является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 200л. Оценить вероятность того, что расход горючего в РТС в течение суток отклоняется по абсолютной величине от математического ожидания более чем на 600 л.

11) Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,95. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что при опускании 10000 монет в автомат число случаев правильной работы автомата будет от 9450 до 9550 включительно.

12) Нестандартные изделия в среднем составляют 5%. Почему нельзя применять неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число нестандартных среди 10000 изделий будет заключено в границах от 450 до 540 (включительно)? Какой должна быть правая граница, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным?

Оценить вероятность указанного события с помощью неравенства Чебышева при соответствующем изменении правой границы.

13) Электростанция обслуживает сеть с 20000 ламп, вероятности включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Каково должно быть отклонение числа включенных ламп от математического ожидания по абсолютной величине, чтобы вероятность этого отклонения была не менее, чем 0,955?

14) Суточная потребность электроэнергии в населенной пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой рано 2000 квт.ч., а дисперсия составляет 20000. Оценить вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в этом населением пункте будет от 1500 до 2500 квт.ч.

15) При многократном взвешивании тела получен средний вес 3 кг. Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса s = 0,02 кг. Оценить с помощью неравенства Чебышева, какой процент всех взвешиваний дает результаты в пределах от 2,9 до 3,1 кг.

16) Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/час, а среднее квадратическое отклонение равно 4, 5км/час. В каких границах можно ожидать скорость ветра на этой высоте с вероятностью, не меньшей 0,9?

17) Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Произведено 1600 выстрелов. В каких границах с вероятностью, не меньшей 0,96, можно ожидать число попаданий в мишень?

Неравенство Чебышева в случае схемы Бернулли.

18) Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви необходимы туфли размера 36, равна 0,2. Оценить вероятность того, что доля покупателей, которым необходимы туфли указанного размера, отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,2, не более, чем на 0,1, если всего в магазине ожидается 1000 покупателей.

19) Пусть вероятность того, что изготовленный экземпляр часов имеет точность хода в допустимых пределах, равна 0,97.Оценить вероятность того, что среди изготовленных 1000 экземпляров доля часов с точностью хода в пределах нормы бу­дет в границах от 0,96 до 0,98.

20) Сколько следует проверить радиоприборов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годных приборов от вероятности прибора быть годным, равной 0,95, не превысит 0,01?

21) Пусть вероятность того, что автомат по продаже газированной воды работает правильно, равна 0,97. Оценить вероятность того, что при опускания 1000 монет в автомат отклонение частоты правильной работы автомата от его вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.

22) Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Сколько следует произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать с вероятностью, не меньшей 0,96, что абсолютная величина отклонения частости попаданий от вероятности 0,8 не превысит 0,05?

23) Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чей 0,997, можно было утверждать, что частость выпадения герба будет заключена между 0,499 и 0,501?

Teopeмa Чебышева.

24) Для определения средней продолжительности горения электролампочек в партии из 100 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампочке из каждого ящика. Оценить вероятность того, что отклонение средней продолжительности горения 100 одинаковых электролампочек от средней продолжительности горения во всей партии не превзойдет 8 часов, если среднее квадратическое отклонение продолжительности горения электролампочек во всей партии не превышает 10 часов.

25) Для определения средней урожайности некоторого совхозного поля берут на выборку по 1 м² с каждого гектара площади и точно подсчитывают урожайность с этих квадратных метров. Какова должна быть площадь совхозного поля, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,875, можно было утверждать, что средняя выборочная урожайность будет отличаться по абсолютной величине от истинной средней урожайности на всем массиве не более, чем на 0,2 ц, если предположить, что среднее квадратическое отклонение урожайности на каждом гектаре не превышает 5 ц?

26). Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, чтоб вероятность такого отклонения превышала 0,997?

27). Партия деталей для оборудования завода распределена по ящикам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее вес. Известно, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 4. Установить: при каком числе ящиков отклонение среднего выборочного веса детали от общего ее среднего веса менее, чем на 0,2 кг, определится вероятностью, превышающей 0,95.

28) На совхозном поле площадью в 900 га берется выборочно по 1 кв.м. с каждого гектара и подсчитывается урожайность. Дисперсия по каждому гектару не превышает 6. Оценить вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от средней урожайности по всей площади совхоза не более чем на 0,3 ц.

29) Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего роста 1000 мужчин от математического ожидания случайной величины, выражающей рост каждого мужчины, не превзойдет 0,5 см, предполагая, что среднее квадратическое отклонение каждой из этих случайных величии равно 2,5 см.

30) Для установления среднего размера детали в партии, размещенной в 100 ящиках с одинаковым количеством деталей в каждом, взяли по одной детали из каждого ящика. Вычислить верхний предел отклонения среднего размера детали из отобранной совокупности от среднего ее размера во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятность, не меньшей 0,8, а дисперсия размера по каждому ящику не превышает 5.

Смешанные задачи

31) Дискретная с. в. X задана рядом распределения

	0,2	0,3	0,4	0,1

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
| Х – М (Х) | < 5.

32) Дискретная с. в. X задана законом распределения:

	0,10	0,15	0,30	0,25	0,20

Найти вероятность события Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.

33) Непрерывная с.в. X распределена равномерно на промежутке (2,8). Найти вероятность события A={3,5<X<6,5}; оценить вероятность события А, используя неравенство Чебышева.

34) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того что с.в. X отклонится от своего математического ожидания М(Х) менее, чем на: а) s; б) Зs; в) 9s, где s =

35) Число дождливых дней в году для данной местности являются с.в. X с М(Х) = 100. Оценить вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 140 дождливых дней.

36) Парикмахерская обслуживает в среднем 120 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в данной парикмахерской будет обслужено: а) не менее 150 клиентов; б) менее 160 клиентов.

37) Оценить вероятность того, что при 15 000 подбрасываниях монеты относительная частота появления герба отклонится от вероятности появления герба при одном подбрасывании по модулю меньше, чем на 0,01.

38) Игральная кость подбрасывается 1200 раз. Оценить вероятность отклонения относительной частоты выпадения 6 очков от вероятности этого события (по модулю) на величину, меньшую, чем 0,02.

39) В урне находится 20 белых и 80 черных шаров. Из нее извлекают, с возвращением, 40 шаров. Оценить вероятность того, что количество белых шаров в выборке заключено между 4 и 12.

40) В автопарке 200 автомобилей. Каждый из них за время эксплуатации t может выйти из строя, независимо от других, с вероятностью 0,04. Оценить вероятность того, что доля надежных автомобилей отличается по модулю от вероятности безотказной работы любого из них не более чем на 0,1.

41) Игральная кость подбрасывается 400 раз. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое число выпавших очков отклонится от математического ожидания числа очков, выпавших при однократном подбрасывании кости, по модулю меньше, чем на 0,1.

42) Дисперсия каждой из 2000 независимых с. в. не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих с. в. от среднего арифметического их математиче­ских ожиданий меньше 0,04.