Тема 6. Формула полной вероятности

ФОРМУЛА БАЙЕСА.

1) 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% — на 2-м, остальные — на 3-м заводе. Вероятность того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96, 0.94, 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

2) Имеются две одинаковые урны с шарами. В 1-й находится 3 белых и 4 черных шара, во 2-й — 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

3) Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м – 0,7, 3-м – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2, при двух — равна 0,6, при трех — цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

4) В условиях задачи №3 цель была поражена. Найти вероятность того, что в мишень попали двое из трех стрелков.

5) Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина, б) женщина.

6) В классе 70% — мальчики. 90% мальчиков и 70% девочек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, он принадлежал а) мальчику? б) девочке?

7) В 1-й урне находится 7 белых и 5 черных шаров, а во 2-й – 4 белых и 8 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

8) В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

9) В условиях задачи №8 купленный телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?

10) В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того, для второй игры будут вытянуты два новых мяча.

11) Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 м равна 0,3, а на остальной части — 0,8. Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдет пролив.

12) В условиях задачи №11 корабль прошел благополучно пролив. Какова вероятность того, что он прошел в левой части пролива?

13) Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

14) Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

15) Планируется ракетный залп по кораблю противника. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,4. Вероятность поражения корабля при попадании одной, двух, трех, четырех ракет соответственно равна 0,3; 0,4; 0,5; 0,6. Найти вероятность поражения корабля.

16) В условиях задачи №15 корабль был поражен. Какова вероятность того, что он был поражен попаданием трех ракет?

17) Из 1000 ламп 100 принадлежит 1-й партии, 250 – 2-й и остальные – 3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2-й – 5%, в 3-й – 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что выбранная лампа – бракованная?

18) В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й – 30, 3-й – 20 изделий. Среди изделий 1-го завода 70% первосортных, а среди изделий 2-го – 80%, 3-го – 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что это изделие выпущено 1-м заводом?

19) Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимикатами Вероятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна 0,06, а растений, проросших из неотработанных семян – 0,3. Какова вероятность того, что взятое наудачу растение окажется пораженным? Если оно поражёное, то какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?