Формула трапеций

, где ; шаг деления отрезка на n равных отрезков точками .

Остаточный член имеет вид .

Формула трапеций дает точное значение, если – линейная функция, так как .

Задача. Вычислить приближенно по формуле трапеций интеграл при n = 10 и оценить погрешность вычислений.

Решение: Оценить остаточный член ;

.

На отрезке при х = 0; в – а = 1, h = 0,1.

, следующие вычисления надо производить с четырьмя знаками после запятой.

Составим таблицу значений функции .

i	xi	xi2	yi
	0,6	0,36	1,6977
	0,7	0,49	0,6126
	0,8	0,64	0,5273
	0,9	0,81	0,4449
	1,0		0,3679

i	xi	xi2	yi
			1,0000
	0,1	0,01	0,9900
	0,2	0,04	0,9608
	0,3	0,09	0,9139
	0,4	0,16	0,8521
	0,5	0,25	0,7788

.

, следовательно, .

После округления окончательно получаем .

Формула Симпсона (формула парабол) (n–четное)

, где .

Остаточный член имеет вид .

Задача. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 10 и оценить остаточный член.

Решение: Оценим остаточный член.

, , , ,

.

имеет наибольшее значение на при х = 1, m = 5,

.

Составим таблицу значений, запишем ординаты с четными и нечетными номерами в разные столбцы:

i	xi	xi2	yi, i=0, 10	y2m	y2m–1
	0,0	0,00	1,000		1,0101
	0,1	0,01
	0,2	0,04		1,0407	1,0942
	0,3	0,09
	0,4	0,16		1,1735	1,2840
	0,5	0,25
	0,6	0,36		1,4333	1,6323
	0,7	0,49
	0,8	0,64		1,8965
	0,9	0,81			2,2479
	1,0	1,0	2,7188

Суммы: у₀ + у₁₀ = 3,7188,

åу_2m = 5,44,

åу_2m–1 = 7,2685.

По формуле Симпсона получаем: ; округляем до четырех знаков, окончательно получим .

Задача. Решить систему дифференциальных уравнений с помощью составления характеристического уравнения

.

Решение: Фундаментальную систему решений будем отыскивать в виде ; , тогда , . Подставим полученные значения в систему уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение или

(1 – к)² – 4 = 0 1 – к = ±2, откуда 1 – к = –2, к = 3 или 1 – к = 2, к = –1.

При к = –1 получим систему уравнений . Пусть , тогда , откуда , – фундаментальная система решений.

При к = 3 получим систему уравнений: . Пусть , тогда , откуда , .

Общее решение системы уравнений запишется в виде:

Задача. Разложить в степенной ряд по степеням x решение дифференциального уравнения , записать первые три, отличных от нуля, члена разложения.

Решение: .

Продифференцируем исходное уравнение не менее двух раз.

,

,

.

Имеем: , , , , подставим полученные значения в степенной ряд: , получим приближенное решение дифференциального уравнения .

Задача. Записать уравнение кривой, проходящей через точку P (1,2), для которой площадь треугольника, образованного радиус-вектором любой точки кривой касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

– произвольная точка кривой. ОМ – радиус-вектор. МА – касательная к кривой. Известно, что . Найти уравнение кривой.

Решение:

, так как , то . Из имеем: или , тогда . Площадь треугольника ОМА равна , и, так как по условию задачи , получим уравнение . Решим это уравнение, выполнив некоторые преобразования , , , последнее уравнение – линейное, первого порядка относительно , поэтому используем подстановку ; ; ; ; ; ; , ; ; ; .

Итак, .

По условию задачи кривая проходит через точку Р (1, 2), поэтому С = 0, так как 1 = 2С + 1; следовательно, искомая кривая имеет вид или xy = 2 – гипербола.

Вопросы для экзамена

1. Функция. Определение, область определения, множество значений.

2. Способы задания. Основные элементарные функции, их графики.

3. Основные классы функций.

4. Числовая последовательность. Предел последовательности.

5. Предел функции в точке и на промежутке.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые.

7. Раскрытие неопределенностей вида , , .

8. Первый и второй замечательные пределы.

9. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

10. Классификация точек разрыва.

11. Связь предела функции в этой точке с непрерывностью функции.

12. Производная функции. Геометрический смысл.

13. Таблица производных. Правила нахождения производных функций.

14. Дифференциал. Правила дифференцирования.

15. Приложения производных и решение задач. Уравнения касательной и нормали к кривой в точке.

16. Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной переменной: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

17. Правило Лопиталя.

18. Исследование функции с помощью производной.

19. Функции нескольких переменных. Область определения, график.

20. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных.

21. Частные приращения и производные.

22. Экстремумы функции двух переменных.

23. Первообразная. Теорема о первообразных.

24. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов.

25. Методы интегрирования (по частям, замена переменной).

26. Интегрирование дробно-рациональных функций.

27. Интегрирование простейших дробей.

28. Интегрирование тригонометрических выражений.

29. Интегрирование иррациональных функций.

30. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

31. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

32. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

33. Несобственный интеграл.

34. Числовые ряды. Свойства рядов. Кратные интегралы.

35. Геометрический и гармонический ряды. Необходимый признак сходимости.

36. Признаки сходимости положительных рядов.

37. Степенной ряд. Область сходимости и радиус сходимости.

38. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка: однородные, с разделяющимися переменными, линейные.

39. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение.

40. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

41. Дифференциальные уравнения однородные и неоднородные.

42. Частное решение дифференциального уравнения.

43. Дифференциальные уравнения высших порядков.

44. Системы дифференциальных уравнений. Приближенное решение дифференциального уравнения.

Список литературы

1. Агафонов, С. А. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов / С. А. Агафонов. – М.: МГТУ им. Баумана, 2004.

2. Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: учебник для вузов / Г. И. Архипов. – М.: Высшая школа, 2000.

3. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по мат. анализу: 2 кн. – Кн. 2: Ряды. Несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы: учебное пособие / И. А. Виноградова. – М.: Высш. шк., 2000.

4. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. – М.: Высш. шк., 2000.

5. Власова, Е. А. Ряды: учебник для студентов вузов / Е. А. Власова; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищненко. – 2-е изд. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

6. Ермаков, В. И. Общий курс высшей математики для экономистов / В. И. Ермаков. – М.: ИНФРА-М, 2000.

7. Ермаков, В. И. Сборник задач по высшей математике для экономистов / В. И. Ермаков. – М.: ИНФРА-М, 2007.

8. Кремер, Н. Ш. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин. – М.: Высшее образование, 2007.

9. Кудрявцев, Л. Д. Предел функции формулы Ньютона – Лейбница и Тейлора / Л. Д. Кудрявцев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

10. Кустов, Ю. Математика: Основы мат. анализа / Ю. Кустов, М. Юмагулов.

11. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. I курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 576 с.: ил.

12. Никольский, С. М. Курс математического анализа: учебник для вузов / С. М. Никольский. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

13. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. I часть / Д. Т. Письменный. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.: ил.

14. Шипачев, В. С. Математический анализ: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2002.