Контрольной работы № 2

Задача. Найти область сходимости степенного ряда:

.

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера для нахождения области сходимости степенного ряда.

U_n= ; U_n+1= ;

Интервал сходимости будет определяться неравенством , следовательно, 0 < х < 1.

Исследуем граничные точки.

При х = 0 получим числовой ряд, члены которого равны нулю, поэтому он сходится и х = 0 входит в область сходимости.

При х = 1 получим числовой ряд . Исследуем его на сходимость по предельному признаку сравнения, а для сравнения выберем гармонический ряд:

.

Так как предел отношения общих членов отличен от нуля, то оба ряда одновременно сходятся или расходятся, но так как гармонический ряд является расходящимся, то и исходный ряд расходится, следовательно, х = 1 не входит в область сходимости степенного ряда.

Ответ: .

Задача. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение. Используем разложение функции в степенной ряд по степеням х. Это возможно, так как ряд сходится к функции на промежутке (–¥; +¥), получим:

= 1 – + – +….

Проинтегрируем обе части равенства на промежутке :

= (1 – + – +…)dx;

= (x – + – +…) ;

= – + – +….

Правая часть равенства представляет собой ряд лейбницевского типа.

Так как , что больше 0,001, а , что меньше 0,001, то для вычисления с заданной точностью достаточно взять два слагаемых, итак,

– = 0,245.

Ответ: 0,245.