Функция двух переменных

Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторой области D (x, y) соответствует единственное число Z, то Z называют функцией двух переменных x и y, x и y – независимые переменные или аргументы, D – область определения функции Z, пишут .

Определение: Число B называют пределом функции в точке , если для любого существует , такое, что при всех x и y, удовлетворяющих условиям и , справедливо неравенство . Пишут .

Определение: Частной производной по переменной x функции называют предел отношения: , a по переменной y – ; где ,

. Обозначают , , , .

Задача. Для функции найти частные производные функции.

;

.

Частные производные второго порядка функции имеют вид:

;

;

;

.

Задача. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение: .

,

очевидно, что = .

Теорема (необходимое условие экстремума): Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из них не существует. Точки, для которых это условие выполняется, называются стационарными.

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть имеет непрерывные частные производные до третьего порядка в области, содержащей стационарную точку . Тогда:

1) если , то – является точкой экстремума, причем если А < 0 (С < 0), то – точка максимума, если А > 0 (С > 0), то – точка минимума;

2) если , то в точке нет экстремума;

3) если , то экстремум может быть, а может и не быть. Необходимо дополнительно исследовать функцию.

Где , , , в точке .

Задача. Исследовать функцию на экстремум.

1) Найдем стационарные точки , . Пользуясь необходимыми условиями экстремума, найдем стационарные точки:

,

откуда .

2) Исследуем точки и , для этого составим

, , , . , так как , то в точке нет экстремума. , так как и А > 0, то точка – точка минимума. , (А = 6 > 0).