Примерная схема исследования функций

Для исследования функции и построения графика надо:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика с осями координат, вертикальные асимптоты.

3. Исследовать функцию на четность, периодичность.

4. Исследовать на монотонность и найти экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости, точки перегиба.

6. Найти асимптоты графика.

7. Построить график функции.

Задача. Исследовать функцию и построить график.

Решение: Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме x = 2; прямая x = 2 является вертикальной асимптотой графика функции, так как .

1) Функция принимает все положительные значения, кроме y = 1, так как при .

2) ; но – точка разрыва.

Х

3) Функция экстремумов не имеет и возрастает на каждом из промежутков.

4) Промежутки выпуклости функции:

;

при и – точка перегиба.

5) Так как , то – горизонтальная асимптота графика функции, – точка перегиба.

На основании проведенного исследования можно построить график.

Х