Основные теоремы теории вероятности

Материал предыдущего параграфа позволяет раскладывать сложные события на простые, а также строить сложные события из элементарных исходов испытания с помощью действий над событиями. Для отыскания вероятностей сложных событий, которые являются суммами или произведениями простых событий, ниже сформулированы правила и теоремы, которые составляют основу всей теории вероятностей, а также значительно облегчают решения самых разнообразных задач.

Правило сложения: для несовместных событий (то есть когда A*B = Ø 

P(A+B) = P(A)+P(B);

Для совместных событий

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Правило умножение: для произвольных событий

P(A B) = P(A) P(B/A);

для независимых событий (то есть когда P(B/A) = P(B))

P(A B) = P(A) P(B).

v Теорема 1. Сумма вероятностей событий , ,…, , которые составляют полную группу, равна 1:

P()+P()+... +P() = 1.

v Теорема 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

P()+P() = 1.

v Теорема 3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

¨ Задача о шарах.

В коробке лежат 9 белых и 4 черных шариков. Эксперимент: вынимают наугад двешарика. Найти вероятность того, что они:

1. белые;

2. черные;

3. разноцветные.

4. белые или черные;

5. если пару шариков вынимают по одному, контролируя цвет, то какова вероятность вынуть вторым белый шарик при условии, что первым вынули черный шарик.

Решение

(2-й способ - с использованием аксиом и теорем теории вероятностей).

Обозначим события: А - шарики белые, B - шарики черные, C - шарики разноцветные, D - шарики или белые, или черные, 2Б/1Ч - второй белый при условии, что первый - черный.

Поскольку извлечение двух шариков является сложным событием, то элементарными событиями будем считать извлечение шариков по одному. Таким образом, элементарные события 1Ч и 2Б соответственно будут означать, что первым из пары шариков вынимается черный шарик, а второй - белый.

Случаи извлечения одного за другим двух шариков не является независимыми, так как при извлечении второго шарика (например, второго белого после первого белого) изменяется как количество белых шариков, так и их общее количество, которое влияет на вероятность согласно классической формуле.

1. Раскладывая извлечение пары шариков на элементарные события, будем считать, что нельзя вынуть в паре одного и того же шарика, то есть как бы шарики условно перенумерованы. Таким образом, событие A есть произведение событий 1Б и 2Б, когда мы извлекаем сначала один белый шарик, а за ним - второй белый шарик.

= (1Б* 2Б)

Для расчета вероятности A применяем правило умножения.

P(A) = P(1Б) P(2Б/1Б) = 9/13 8/12 = 6/13

2. Раскладывая извлечение пары шариков на элементарные события, будем считать, что нельзя вытянуть в паре одного и того же шарика, то есть как бы шарики условно перенумерованы. Таким образом, событие B есть произведение событий 1Ч и 2Ч когда мы извлекаем сначала один черный шарик, а за ним - второй белый шарик..

B= (1Ч* 2Ч)

Для расчета вероятности B применяем правило умножения.

P(B) = P(1Ч) P(2Ч/1Ч) = 4/13 3/12 = 1/13

3. Раскладывая извлечение пары шариков на элементарные события, будем считать, что нельзя вытянуть в паре одного и того же шарика, то есть как бы шарики условно перенумерованы. Событие С это произведение событий 1Б и 2Ч, когда мы извлекаем сначала один белый шарик, а за ним - второй черный шарик... Но благоприятным для C есть и тот случай, когда мы извлекаем сначала черный шарик, а потом - белый, что есть произведение 1Ч и 2Б. Отсюда по определению суммы событий

С= (1Б* 2Ч) + (1Ч* 2Б)

В то же время события, указанные в слагаемых, являются несовместными. Отсюда для расчета вероятности C применяем правило умножения и правило сложения.

P(С) = P(1Б* 2Ч + 1Ч* 2Б) = P(1Б* 2Ч) + P(1Ч 2Б)

P(С) = P(1Б) P(2Ч/1Б) + P(1Ч) P(2Б/1Ч)

P(C) = 9/13 4/12 + 4/13 9/12 = 3/13+3/13 = 6/13.

4. Для вычисления вероятности D используем результаты предыдущих пунктов. Отметим, что события С и D являются противоположными: мы можем извлечь или одноцветную пара, или разноцветную. По определению противоположных событий

C + D = U. Используя теорему 2, имеем P(C) + P(D) = 1

Отсюда P(D) = 1 - P(C) = 1-6/13 = 7/13

5. Для вычисления условной вероятности P(2Б/1Ч) нужно определить, что изменяет в эксперименте выполнения указанного условия, то есть извлечение первого черного шарика. Во-первых, всего шариков теперь будет 12. Во-вторых, количество белых шариков не изменилось, ибо извлекли черный. Отсюда общее количество случаев будет составлять 12, а благоприятных - 9. Таким образом, P(2Б/1Ч)=9/12=3/4.

Решение

(3-й способ - построение пространства событий).

Обозначим события: А - шарики белые, B - шарики черные, C - шарики разноцветные, D - шарики или белые, или черные, 2Б/1Ч - второй белый при условии, что первый - черный.

Построить пространство событий, означает определить все возможные элементарные события в данном эксперименте. Такое построение выполняется довольно легко, когда количество событий в пространстве небольшое и его элементы можно представить в виде ряда или таблицы. Когда пространство построено, почти все вероятности можно определить как отношения количества элементов, которые благоприятствуют событию, к общему количеству элементов. В нашем случае элементарными событиями будем считать разнообразные пары шариков одинаковых или различных по цвету. Первый столбик таблицы будет определять первый выбранный шарик, первая строка - второй. Шарики будем записывать в определенном порядке, так что их можно считать условно перенумерованными. В клетках таблицы записываются пары шариков, что «извлекаются» из первого столбика и первой строки.

Таблица 1

Б1

Б2

Б3

Б4

Б5

Б6

Б7

Б8

Б9

Ч1

Ч2

Ч3

Ч4

Б1

Х

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б2

ББ

Х

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б3

ББ

ББ

Х

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б4

ББ

ББ

ББ

Х

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б5

ББ

ББ

ББ

ББ

Х

ББ

ББ

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б6

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

Х

ББ

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б7

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

Х

ББ

ББ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б8

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

Х

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Б9

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

ББ

Х

БЧ

БЧ

БЧ

БЧ

Ч1

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

Х

ЧЧ

ЧЧ

ЧЧ

Ч2

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧЧ

Х

ЧЧ

ЧЧ

Ч3

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧЧ

ЧЧ

Х

ЧЧ

Ч4

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧБ

ЧЧ

ЧЧ

ЧЧ

Х

Рассмотрим табл. 1, где построено пространство событий для задачи. Общее количество элементарных событий отвечает количеству клеточек за исключением диагональных элементов, которые отвечают извлечению шариков с одинаковыми номерами, то есть имеем N = 13 13-13 = 156. Найденное количество N вдвое превышает количество вариантов n, которое рассчитано по формулам комбинаторики. Это есть следствием того, что способ построения табл. 1 учитывает порядок (по номерам) извлечения шариков, а формулы комбинаторики - нет. Для полного соответствия первому способу решения задачи нужно рассматривать элементы выше, или ниже диагонали в табл. 1. Но это не является обязательным, так как вероятности являются отношениями, так что при удвоении общего количества элементов автоматически удваивается количество благоприятных элементов для любого события. Мы будем рассматривать все элементы таблицы за исключением диагональных:

1. Для пары белых шариков имеем количество клеточек, которые занимают левый верхний угол таблицы. Их количество без диагональных элементов составляет 9 9-9= 72. Общее количество клеточек, как указано выше, - 156. По классической формуле имеем:

P(A) = 72/156 = 6/13.

2. Для пары черных шариков имеем количество клеточек, которые занимают правый нижний угол таблицы. Их количество без диагональных элементов составляет 4 4-4= 12. Общее количество клеточек, как указано выше, - 156. По классической формуле имеем: P(B) = 12/156 = 1/13.

3. Для пары разноцветных шариков имеем количество клеточек, которые занимают правый верхний и левый нижний углы таблицы. Их количество без диагональных элементов составляет 9 4 + 4 9= 72. Общее количество клеточек, как указано выше, - 156. По классической формуле имеем: P(С) = 72/156 = 6/13.

4. Для пары одноцветных шариков имеем количество клеточек, которые занимают левый верхний и правый нижний углы таблицы. Их количество без диагональных элементов составляет 9 9-9+ 4 4-4= 84. Общее количество клеточек, как указано выше, - 156. По классической формуле имеем: P(D) = 84/156 = 7/13.

5. Чтобы определять вероятности условных событий, нужно из всего пространства событий выделить подмножество, которое отвечает указанному условию. В нашем случае это будут те клеточки таблицы, в которых первой записанная буква Ч, что отвечает извлечению первого черного шарика. Для определения условных вероятностей такое подмножество заменяет пространство событий. Дальше уже в рамках этого нового (условного) пространства событий определяются те элементарные события, которые благоприятствуют условному событию. Клеточки, которые начинаются буквой Ч, занимают четыре нижние строки табл. 1, за исключением диагональных элементов. То есть их в целом 48. К благоприятным нужно отнести те из них, которые имеют вторую букву Б (второй белый шарик). Таких клеточек среди выше обозначенных - 36. По классической формуле таким образом имеем P(1Ч/2Б) = 36/48=3/4.