Auml;Примеры биномиальных экспериментов

· стрелок: попал (или не попал) в мишень

· экстрасенс: догадался (или не догадался)

· бросание кости: 1 очко выпало (или не выпало)

· вратарь мяч: поймал (или не поймал)

Чтобы эксперимент рассматривался как биномиальный и отвечал схеме Бернулли, необходимо выполнение следующих условий:

· он должен состоять из фиксированного количества испытаний;

· каждое испытание приводит или к успеху, или к неудаче;

· вероятность успеха (и неудачи) для всех испытаний должна быть одинаковой;

· испытания должны быть независимыми одно от другого.

v Теорема 7. Формула Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие состоится ровно к раз (безразлично, в какой последовательности) равно

Если количество независимых испытаний довольно большое, вместо формулы Бернулли нужно пользоваться локальной и интегральной теоремами Лапласа, которые дают приблизительный результат, но он тем ближе к результату точной формулы Бернулли, чем больше количество испытаний.

v Теорема 8. Локальная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие состоится ровно к раз (безразлично, в какой последовательности) примерно составляет:

,

где , , ,

четная функция: .

v Теорема 9. Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие состоится не меньше k1 раз и не больше k2 раз (безразлично, в какой последовательности) примерно составляет

,

где , , ,

нечетная функция: и p+q=1.