Упражнения и задачи

Теперь рассмотрим упражнения и задачи на изложенные теоретические положения.

Задача 1. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наудачу открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 7?

Решение. В данном случае пространство. состоит из 300 элементарных событий. Событие А состоит из элементарных событий, определенных числами

{7,14,28,35,42,49,56,63,70,77,204}. Число благоприятствующих событий, то есть, число чисел кратных семи, равно 42. Итак, искомая вероятность

Р(А)=42/300=7/50.

При решении конкретных примеров невсегда стоит ввести пространство элементарных событий , из практических соображений бывает понятно, общее число элементарных и число благоприятствующих элементарных событий,

Поэтому при рассмотрении конкретных примеров такие теоретические подходы будем опускать.

Задача 2. В ящике имеются одинаковые по форме початки: из них 5 с белой пряжей, 2 с синей пряжей и 4 с красной пряжей. Лаборантка, наугад берет початок. Определить вероятность того, что вынутый початок окажется с крашенной пряжей.

Ясно, что по смыслу задачи общее число элементарных событий равно 11, а число благоприятствующих элементарных событий равно 4. Итак, Р = 4/11.

Задача 3. Из 1000 рабочих швейной фабрики 100 человек не выполнили суточную норму, 750 - выполнили и 150 перевыполнили. Какова вероятность того, что случайно выбранный по списку рабочий окажется выполнившим или перевыполнившим норму.

Нетрудно понять, что по классическому определению вероятности имеем

.

Задача 4. Пряжа выработана из хлопка, вискозы и шерсти в пропорции 2:3:4. Какова вероятность того, что наугад взятое волокно в сечении пряжи окажется а) шерстяным, б) нехлопковым.

Решение. Можно понимать так, что пряжа состоит из 10 условно разделенных частей с одинаковым числом волокон К. Легко понять, что общее число элементарных исходов равно 10 к; благоприятствующих первому событию равно 4к и второму 7к. В итоге .

Как видно, из рассуждений, что результаты можно получить сразу, исходя из числовых значений пропорции.

Можно было бы еще так рассуждать, что состоит из 10 элементарных равновероятных событий (из 10 множеств). Затем с учетом числовых значений в пропорции легко записать число благоприятствующих событий (или множеств). То есть, если выражены в пропорциях или в процентных соотношениях, соответствующие вероятности будем записывать без особых дополнительных рассуждений, исходя из понимания, соображений или практического смысла.

Задача 5. На складе имеется 20% пальто размера 48; 45% -размера 50, 15% - размера 52 и остальные выше размера 52. Какова вероятность того, что наугад взятое пальто окажется, не менее 52 размера.

Решение. С учетом выше указанных соображений сразу можем записать искомую вероятность

Задача 6. В течение некоторого промежутка времени с конвейера швейной фабрики сходит 10 костюмов, причем 6 из них размера 50. Какова вероятность того, что из 3 наугад взятых костюмов окажутся все размера 50.

Решение. Предположим, что все костюмы каким - то образом пронумеровали от 1 до 10. В качестве множества элементарных событий возьмем все сочетания множества {1,2,...,10} по 3 элемента. Таких сочетаний содержит элементарных событий. Число благоприятствующих исходов равно (К четырем различным костюмам 50% размера соответствует различных “ двоек “, не содержащих, костюмы 50% размера).

Ответ:

Задача 7. В ящике имеется 10 пуговиц разных расцветок, из них 6 пуговиц черных. К очередному пальто требуется пришить 3 черных пуговицы. Какова вероятность того, что работница, взяв наугад 5 пуговиц, сможет сразу пришить нужное число.

Решение. Общее число элементарных исходов есть число сочетаний . Найдем число благоприятствующих исходов. Находим число сочетаний . Далее учитывая, что эти комбинации составляются с учетом двух нечерных среди 10 – 6 = 4 нечерных, имеем число благоприятствующих исходов .

Ответ: .

Задача 8. В группе 25 человек из них 8 отличников. Какова вероятность того, что среди случайно 5 отобранных студентов окажутся ровно 3 отличника.

Решить самостоятельно. Решается аналогично предыдущему примеру.

Задача 9. В ящике 13 початков из них 9 черных. Какова вероятность того, что среди случайно отобранных 6 початков, черных окажутся меньше 4-х.

Указание. Следует рассматривать события, что среди 6 початков нет черных, один, два, три. Затем используя, теорему сложения вероятностей, получим требуемый ответ.

Задача 10. Имеется 6 костюмов и 3 пуговицы. Пуговицы пришиваются к каждому из костюмов. Найти вероятность того, что 3 пуговицы пришиты к одному из этих костюмов.

Решение. Число всевозможных исходов есть число сочетаний из 6 по 3 с повторениями Число благоприятствующих исходов есть размещение из 6 элементов по 3.

Итак, ответ: .

9. Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть события образуют полную группу событий, то есть Эти события будем называть гипотезами. Пусть В - произвольное событие такое, что

.

Тогда справедлива формула

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Из соотношений

получим

.

Затем с учетом формулы полной вероятности будем иметь

.

Эта формула называется формулой Байеса.