Рассмотрим примеры

Пример 1. На швейную фабрику поступает материал с трех ткацких фабрик в пропорции 1:3:1. При этом первая фабрика выпускает 20%, вторая-30% и третья - 10% продукции первого сорта. Каков общий процент материала первого сорта поступает на швейную фабрику, т.е., какова вероятность того, что наугад взятый образец ткани окажется первого сорта.

Решение. Обозначим через В событие, состоящее в том, что наугад взятый образец ткани окажется первого сорта, а через - события, состоявшие в том, что образец ткани изготовлен первой, второй, третьей ткацкими фабриками. События являются гипотезами. Искомая вероятность вычисляется по формуле полной вероятности

=

= . Ответ:24%.

Пример 2. Смесь хлопка состоит из 20% хлопка 1-го сорта, 70% - 2-го сорта и 10% - хлопка 3-го сорта. В хлопке 1-го сорта волокна, длина которых менее 30 мм составляют 40%, 2-го сорта - 30% и 3 - го сорта 20%. Наугад взятое волокно из смеси оказалось, по длине менее 30 мм, определить вероятность того, что оно 1 –го сорта.

Решение. Введем события:

-появление хлопка 1-го сорта,

-появление хлопка 2-го сорта,

- появление хлопка 3-го сорта,

В - появление хлопка по длине менее 30 мм.

События образуют гипотезы. Искомая вероятность определяется по формуле Байеса

Пример 3. Три швеи разной квалификации работают на трех однотипных машинах, вероятность бесперебойной работы в течение некоторого промежутка времени для первой швеи равна 0,3, для второй - 0,4, а для третьей - 0,6. Какова вероятность того, что в течение того же отрезка времени

1. А - все машины будут работать бесперебойно,

2. В - все будут иметь останов,

3. С- остановится только вторая машина,

4. D-остановится только какая-то одна машина,

5. E-остановится хотя бы одна машина.

Решение. Введем события

-работает бесперебойно 1-ая машина в течение некоторого промежутка времени;

-работает бесперебойно 2 - ая машина в течение некоторого промежутка времени;

-работает бесперебойно 3-я машина в течение некоторого промежутка времени;

1. Заметим, что . Из практических соображений ясно, что эти события независимые в совокупности. По теореме умножения вероятностей имеем

2. Имеем . Снова по формуле умножения вероятностей будем иметь

.

3. Ясно, что .

4. Будем иметь

.

Эти события попарно несовместны. По теореме сложения вероятностей имеем

5. Событие или учетом формулы

получим

. Отсюда легко найти численное значение.

Пример 4. В ящике 15 пуговиц из них 4 пуговицы черные. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 6 пуговиц 2 черных.

Решение. Используем классическое определение вероятности. Общее число элементарных событий равно . Число благоприятствующих исходов равно .

Ответ: .

Пример 5. Всего 20 экзаменационных билетов. Студент знает 15 билетов. Студент взял два билета, найти вероятность того, что оба билета он знает.

Решение. 1) Можно решить, используя классическое определение вероятности.

Число элементарных событий равно . Число благоприятствующих исходов равно .

Ответ: .

2) Этот же пример решим несколько рассуждая по иному. Взятие двух билетов равносильно проведению двух одиночных испытаний. Введем события:

появление знающего билета при 1-ом испытании,

появление знающего билета при 2-ом испытании,

появление двух знающих билетов.

, .

Пример 6. На склад прядильной фабрики поступил хлопок с двух хлопкоочистительных заводов в пропорции 2:3, причем первый завод поставил 30% хлопка 1 сорта. Какова вероятность того, что наугад взятая кипа окажется с первого завода и 1-го сорта.

Решение. Введем события

А - появление хлопка с первого завода,

В - появление хлопка первого сорта,

С - появление хлопка первого сорта и с первого завода.

Заметим, что С = АВ, Р (С) = Р (АВ) = Р(А)Р(В/А) = .

10. Схема Бернулли

Напомним, что совокупность n последовательных испытаний называются независимыми, если вероятность того или иного исхода в каждом испытании не зависит от того, какие исходы появились в других испытаниях.

В частности, в качестве конкретных примеров независимых испытаний можно привести следующее:

1. Многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации возвращается обратно.

2. Повторение одним стрелком выстрелов по одной мишени при условии, что прицеливание производится перед каждым выстрелом.

3. Извлечение початков из ящика, при этом после испытания он возвращается обратно.

Независимые испытания могут производиться в одинаковых условиях или в разных условиях. В первом случае вероятность события А во всех испытаниях одна и та же, во втором случае от опыта к опыту меняется.

Пусть проводится n повторных независимых испытаний, в каждом из которых может появится событие А или событие , причем вероятность появления события А в одном испытании постоянна и равна р. Тогда Р () = 1-р = q. То есть, говорят испытания проводят по схеме Бернулли. Требуется найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится ровно m раз (, которую обозначим символически и определяется формулой Бернулли

.

Пример 1. Монета брошена 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3 раза? В этом случае событие А представляет выпадение герба в каждом испытании. При этом Р(А)=1/2 в каждом испытании. По формуле Бернулли будем иметь

.

Пример 2. Швейная фабрика выпускает пальто различных размеров. На большом складе фабрики имеется 20% пальто размера 48. Какова вероятность того, что из 5 наугад взятых пальто:

1) 3 окажутся размера 48,

2) не более 2 размера 48,

3) не менее 3-х размера 48.

Решение. Событие А означает появление пальто 48. Поскольку согласно условию, объем совокупности достаточно большой поэтому можно считать вероятность события А постоянной в каждом испытании, т.е., Р(А)=1/5. Практически можно считать испытания повторными с постоянной вероятностью Р=1/5.

Искомые вероятности будем определять по формуле Бернулли.

1)

2)

3) .

Замечание. При бесповторных испытаниях элементов из генеральной совокупности объема N вероятность появления элемента с признаком А зависит от результатов предыдущих выборок. Поэтому вероятности события не остаются одинаковыми, равными Р, как при повторных испытаниях по схеме Бернулли.

Пусть N –объем генеральной совокупности, из них M элементов обладают некоторым признаком А. Из этой совокупности осуществляем выборку n элементов, которые испытываем на признак А, после каждого испытания элемент вновь возвращается в генеральную совокупность. Вероятность того, что среди n элементов m элементов, обладающих качеством А вычисляется по формуле

.

В самом деле, m элементов с признаком А могут появиться различными способами только из M элементов генеральной совокупности, обладающих этим же признаком. Количество же этих способов равно . Но каждому из этих сочетаний может соответствовать целый ряд комбинаций из оставшихся n-m элементов, не обладающих признаком А. Таких комбинаций равно .Следовательно, число благоприятствующих исходов появлению m элементов с признаком А равно .

Итак, согласно классической вероятности имеем

.

Пример 3. В течение некоторого отрезка времени с конвейера швейной фабрики сходит 10 брюк, причем 6 из них 50 размера. Какова вероятность того, что из наугад взятых 4 брюк не более 3 окажутся размера 50.

Решение. Признак А означает костюм размера 50. Используя приведенную формулу можем записать

.

3.2. Контрольная работа №1 по теории вероятностей

Задание 1.

1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на этих кубиках, равна 8.

2. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на этих кубиках, не превзойдет 6.

3. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно 8.

4. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков четное.

5. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на этих кубиках, равна 7.

6. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно 6.

7. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на этих кубиках, не превзойдет 6.

8. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, а разность равна 4.

9. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5, а произведение равно 4.

10. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на этих кубиках, не превзойдет 5.

Задание 2.

1. В ящике лежат одинаковые по форме пуговицы: 6 черных и 5 белых. Работнице требуется пришить к очередному пальто 3 черные пуговицы. Определить вероятность того, что среди наугад взятых 5 пуговиц имеется нужное количество черных пуговиц.

2. В ящике находятся 5 початков с крашеной пряжей и 7 некрашеной пряжей. Какова вероятность того, что из 6 наугад взятых початков 4 окажутся крашеными.

3. Студент из 15 вопросов знает ответы только на 7 вопросов. Определить вероятность того, что из 5 наугад выбранных вопросов он знает ответы на 3 вопроса.

4. В группе 25 студентов из них 5 отличников. Какова вероятность того, что среди 7 наугад выбранных по списку студентов 3 отличника.

5. В ящике лежат 11 одинаковых по форме пуговицы, из них: 5 черных пуговиц. Работнице требуется пришить к очередному пальто 4 черные пуговицы. Определить вероятность того, что среди наугад взятых 4 пуговиц все пуговицы черные.

6. В ящике лежат одинаковые по форме пуговицы: 7 черных и 5 белых. Работнице требуется пришить к очередному пальто 4 черные пуговицы. Определить вероятность того, что среди наугад взятых 5 пуговиц имеется нужное количество черных пуговиц.

7. В ящике находятся 6 початков с крашеной пряжей и 5 некрашеной пряжей. Какова вероятность того, что из 4 наугад взятых початков 3 окажутся крашеными.

8. Студент из 20 вопросов знает ответы только на 8 вопросов. Определить вероятность того, что из 4 наугад выбранных вопросов он знает ответы на все эти вопросы.

9. В группе 20 студентов из них 4 отличника. Какова вероятность того, что среди 5 наугад выбранных по списку студентов 2 отличника.

10. В ящике лежат 9 одинаковых по форме пуговицы, из них: 4 черных пуговиц. Работнице требуется пришить к очередному пальто 3 черные пуговицы. Определить вероятность того, что среди наугад взятых 3 пуговиц все пуговицы черные.

Задание3.

1. Ровничница обслуживает три машины. Вероятность останова каждой из машин в течение некоторого промежутка времени соответственно равны 0,1; 0,3; 0,25. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все машины проработают безостановочно;

2) остановятся все машины;

3) остановится хотя бы одна машина;

4) остановится только вторая машина.

2. Ткачиха работает на 4 ткацких станках. Вероятность останова каждого станка в течение некоторого промежутка времени из-за обрыва нити соответственно равны 0,2; 0,15; 0,3; 0,1. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все станки проработают безостановочно;

2) остановится хотя бы один станок;

3) остановится только третий станок.

4) остановится только какой-то один станок.

3. Четыре швеи разной квалификации работают на четырех одинаковых машинах. Вероятность бесперебойной работы в течение некоторого промежутка времени для каждой швеи соответственно равны 0,2; 0,1; 0,25; 0,3. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все машины проработают бесперебойно;

2) остановятся все машины;

3) остановится хотя бы одна машина;

4) остановится только первая машина.

4. Ленточница обслуживает три чесальные машины. Вероятность безостановочной работы каждой машины в течение некоторого промежутка времени соответственно равны 0,25; 0,3; 0,2; Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все машины проработают безостановочно;

2) остановятся все машины;

3) остановится хотя бы одна машина;

4) остановятся вторая и третья машины.

5. Ткачиха работает на 5 ткацких станках. Вероятность останова каждого станка в течение некоторого промежутка времени из-за обрыва нити равна 0,2. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все станки проработают безостановочно;

2) остановится хотя бы один станок;

3) остановятся только первый и четвертый станки.

4) остановится только какой-то один станок.

6. Ровничница обслуживает три машины. Вероятность останова каждой из машин в течение некоторого промежутка времени соответственно равны 0,3; 0,1; 0,25. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все машины проработают безостановочно;

2) остановится хотя бы одна машина;

3) остановится только вторая машина.

4) остановятся любые две машины.

7. Ткачиха работает на 3 ткацких станках. Вероятность останова каждого станка в течение некоторого промежутка времени из-за обрыва нити соответственно равны 0,25; 0,4; 0,1. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все станки проработают безостановочно;

2) остановится хотя бы один станок;

3) остановятся первый и третий станки.

4) остановится только какой-то один станок.

8. Четыре швеи разной квалификации работают на четырех одинаковых машинах. Вероятность бесперебойной работы в течение некоторого промежутка времени для каждой швеи соответственно равны 0,3; 0,2; 0,25; 0,1. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все машины проработают бесперебойно;

2) остановится хотя бы одна машина;

3) остановятся любые три машины;

4) остановится только четвертая машина.

9. Ленточница обслуживает три чесальные машины. Вероятность безостановочной работы каждой машины в течение некоторого промежутка времени каждой машины равна 0,3. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все машины проработают безостановочно;

2) остановятся любые две машины;

3) остановится хотя бы одна машина;

4) остановятся только какая-то одна машина.

10. Ткачиха работает на 4 ткацких станках. Вероятность останова каждого станка в течение некоторого промежутка времени из-за обрыва нити соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3; 0,15. Какова вероятность того, что за этот промежуток времени:

1) все станки проработают безостановочно;

2) остановится хотя бы один станок;

3) остановятся любые три станка:

4) остановится только какой-то один станок.

Задание 4.

1. На швейную фабрику поступает товар с двух ткацких фабрик в пропорции 2:3. Первая ткацкая фабрика выпускает товар отличного качества 20%, а вторая - 30%. Определить общий процент товара отличного качества, поступающего на швейную фабрику, т.е. какова вероятность того, что наугад взятый товар окажется отличного качества.

2. На ткацкую фабрику поступает 40% пряжи с одной прядильной фабрики, а остальная пряжа с другой. Первая прядильная фабрика выпускает продукцию 1-го сорта 45%, а вторая 30%. Определить общий процент пряжи 1-го сорта, получаемый ткацкой фабрикой, т.е. какова вероятность того, что наугад взятый початок окажется первого сорта.

3. Вся продукция трех ткацких фабрик поступает в одну отделочную. Производительности ткацких фабрик относятся как 1:2:2. Первая фабрика выпускает продукцию второго сорта 40%, вторая фабрика –20% и третья фабрика- 30%.Какова вероятность того, что наугад взятый кусок товара окажется второго сорта, т.е. каков общий процент товара второго сорта поступает на отделочную

4. Пряжа вырабатывается тремя бригадами прядильщиц. Первая бригада работает на 20 машинах, вторая -25, третья - 15.В среднем первая бригада дает 1% брака, вторая 3%, третья 3%. Какова вероятность того, что наугад взятый початок на складе окажется бракованным.

5. В ОТК поступает товар, выработанный тремя ткачихами. Первая ткачиха работает на 20 станках, вторая на -25, третья на-22.Первая ткачиха дает 10% продукции первого сорта, вторя – 15%, третья - 20%. Определить вероятность того, что наугад взятый браковщицей кусок товара окажется первого сорта.

6. На швейную фабрику поступает товар с трех ткацких фабрик в пропорции 1:2:2. Первая ткацкая фабрика выпускает товар отличного качества 10%, вторая -30%, третья -20%. Наугад взятый товар оказался отличного качества. Определить вероятность того, что он изготовлен на первой фабрике.

7. На ткацкую фабрику поступает 30% пряжи с одной прядильной фабрики, а остальная пряжа с другой. Первая прядильная фабрика выпускает продукцию 1-го сорта 40%, а вторая 20%. Наугад взятый початок оказался первого сорта, определить вероятность того, что он выработан второй фабрикой.

8. Вся продукция трех ткацких фабрик поступает в одну отделочную. Производительности ткацких фабрик относятся как 2:1:2. Первая фабрика выпускает продукцию второго сорта 30%, вторая фабрика –40% и третья фабрика- 20%. Наугад взятый кусок товара оказался второго сорта, определить вероятность того, что он выработан третьей фабрикой.

9. Пряжа вырабатывается тремя бригадами прядильщиц. Первая бригада работает на 25 машинах, вторая -20, третья - 15. В среднем первая бригада дает 2% брака, вторая 1%, третья 3%. Наугад взятый початок на складе оказался бракованным, определить вероятность того, что он выработан второй бригадой.

10. В ОТК поступает товар, выработанный тремя ткачихами. Первая ткачиха работает на 25 станках, вторая на -20, третья на-15.Первая ткачиха дает 15% продукции первого сорта, вторя – 10%, третья - 25%. Наугад взятый кусок товара браковщицей оказался первого сорта, определить вероятность того, что он выработан второй ткачихой.

Задание 5.

1. На швейную фабрику поступает товар с двух ткацких фабрик в пропорции 2:3. Найти вероятность того, что из 5 наугад взятых кусков ткани окажутся не более 3-х сработанными первой фабрикой.

2. В ящике имеется большое количество пуговиц, из них 40% составляют черные пуговицы. Какова вероятность того, что среди 8 случайно отобранных пуговиц черных окажутся более 75%.

3. В ящике имеется большое число катушек с нитками разных цветов, из них черных 40%. Какова вероятность того, что среди наугад взятых 6 катушек черных окажутся более 4.

4. Хлопок смешан с вискозой в пропорции 2:3. Какова вероятность того, что в случайном соединении из 10 волокон хлопковых окажутся меньше 40%.

5. На склад швейной фабрики поступают большое количество пальто различных размеров, из них 30% размера 50. Какова вероятность того, что среди случайно отобранных 5 пальто размера 50 окажутся менее 3.

6. На склад швейной фабрики поступают большое количество костюмов различных размеров, из них 25% размера 52. Какова вероятность того, что среди случайно отобранных 5 пальто размера 52 окажутся менее 60%.

7. Хлопок смешан с вискозой в пропорции 3:2. Какова вероятность того, что в случайном соединении из 7 волокон хлопковых окажутся меньше 4.

8. В ящике имеется большое число катушек с нитками разных цветов, из них черных 30%. Какова вероятность того, что среди наугад взятых 8 катушек черных окажутся более 25%.

9. В ящике имеется большое количество пуговиц, из них 60% составляют черные пуговицы. Какова вероятность того, что среди 8 случайно отобранных пуговиц черных окажутся меньше 3.

10. На швейную фабрику поступает товар с двух ткацких фабрик в пропорции 3:2. Найти вероятность того, что из 5 наугад взятых кусков ткани окажутся более 40% сработанными первой фабрикой.

Задание 6.

1. В ящике 8 пуговиц из них 6 черных. Определить вероятность того, что среди 3 случайно отобранных пуговиц есть хотя бы одна черная.

2. В ящике имеется 6 катушек с нитками разных цветов, из них черных 4. Определить вероятность того, что среди 2 случайно отобранных катушек есть хотя бы одна катушка с черными нитками.

3. В ящике находится 7 початков, из них 4 початка с крашеной пряжи. Определить вероятность того, что среди 3 случайно отобранных початок есть хотя бы одна с крашеной пряжей.

4. Имеется всего 8 костюмов, из них 5 размера 48. Определить вероятность того, что среди 3 случайно отобранных костюмов есть хотя бы один размера 48.

5. Имеется всего 9 бобин, из них 5 с суровой пряжей. Определить вероятность того, что среди 3 случайно отобранных бобин есть хотя бы одна с суровой пряжей.

6. В ящике 8 пуговиц из них 6 черных. Определить вероятность того, что среди 3 случайно отобранных пуговиц черных меньше 3.

7. В ящике имеется 7 катушек с нитками разных цветов, из них черных 4. Определить вероятность того, что среди 3 случайно отобранных катушек более 2 - х с черными нитками.

8. В ящике находится 8 початков, из них 5 початков с крашеной пряжи. Определить вероятность того, что среди 4 случайно отобранных початок есть менее 3-х с крашеной пряжей.

9. Имеется всего 9 костюмов, из них 5 размера 48. Определить вероятность того, что среди 4 случайно отобранных костюмов более 2-х есть н размера 48.

10. Имеется всего 10 бобин, из них 6 с суровой пряжей. Определить вероятность того, что среди 5 случайно отобранных бобин есть не более 3 - х с суровой пряжей.

3.3. Случайные величины

1. Понятие случайной величины.

Нередко встречаются опыты, в результате которых случайным образом могут появиться числа. Например, при бросании игрального кубика появятся одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако заранее какое число появится мы предвидеть не можем. Здесь мы имеем дело со случайной величиной. Каждому исходу опыта ставится в соответствие определенное значение к = 1,2,...,6. Или скажем число появлений герба при n бросаниях монеты. При этом рассматриваемая величина может принимать значения 0,1,2,....,n случайным образом. Под случайной величиной можно понимать переменную величину, принимающую в результате эксперимента то или иное значение, причем заранее неизвестное, какое значение она примет. Или можно сказать, что случайная величина – это функция, заданная на множестве исходов данного опыта. То есть, каждому исходу опыта ставится в соответствие единственное число , которое называется значением случайной величины на исходе опыта и записывают так: . При этом некоторые значения могут совпадать, если же все значения совпадают, то рассматриваемая величина является постоянной.

Функция F(x), определенная для любого следующим образом:

F(x) = P(X ), называется функцией распределения вероятностей случайной величины Х. Иногда F(x) называют интегральной функцией случайной величины.

Свойства функции распределения вероятностей:

1.

2. F(x) - неубывающая функция, непрерывная справа:

3.

4. .