Геометрические вероятности. Важный класс моделей вероятностных пространств, не являющихся дискретными, составляют так называемые геометрические вероятности

Важный класс моделей вероятностных пространств, не являющихся дискретными, составляют так называемые геометрические вероятности. Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом ”равновероятных исходов”. К описанию такой ситуации более приспособлено геометрическое определение вероятности. Пусть - некоторая ограниченная область n-мерного евклидова пространства . Будем полагать, что множество имеет так называемую меру Лебега. Рассмотрим систему подмножеств множества , измеримых по Лебегу. Тогда система окажется алгеброй. Тогда геометрическая вероятность любого события определим

, где -мера Лебега на . Функция Р(А), определенная указанным образом определяет модель вероятностного пространства . Отметим, что в классической схеме в систему входили все подмножества . При геометрическом определении вероятности в качестве уже нельзя рассматривать все подмножества , так как некоторые подмножества могут быть не измеримыми по Лебегу. Должны отметить, что излагаемые здесь вопросы выходят за пределы учебной программы, т.е. измеримые множества по Лебегу. Но для понимания сути вопроса и использования на практике сложностей не вызывает, поскольку содержит все подмножества, являющиеся квадрируемыми или кубируемыми (имеющими площадь или объем).А при рассмотрении конкретных упражнений мы будем иметь дело с последними множествами.

Пример. Рисунок ткани состоит из круга радиуса R и вписанных в них квадратов. Определить вероятность, что при случайном проколе игла попадает в квадрат.

Решение. Используем геометрическую вероятность. Множество есть множество точек круга радиуса R. Определим площадь квадрата: .Итак,

.

Чтобы более наглядно представить себе, в каком отношении между собой находятся те или иные события, бывает удобны интерпретировать условно пространство элементарных событий некоторой областью на плоскости, элементарные исходы - точками плоскости, лежащими внутри ; при этом события - определенные совокупности точек - удобно изобразить в виде некоторых фигур.

Напомним соответствующие определения:

1.Пересечением или произведением событий А и В называется событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В.

Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходят и А и В.

2.Объединеием или суммой событий А и В называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В.

3.Противоположным событием событию А называется совокупность тех элементарных событий из , не принадлежащих А и обозначается . Событие называется достоверным событием. Пустое множество 0 назовем невозможным событием.

На основе проведенных наглядных иллюстраций нетрудно понять следующие свойства операций:

1.

2.

Эти соотношения обобщаются и для произвольного числа событий

а) б)