Новицький, І.В

Н73 Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст]: навч. посібник / І.В. Новицький, С.А. Ус. – Д.: Національний гірничий університет, 2010. – 179 с.

Навчальний посібник охоплює матеріал, передбачений програмою курсу “Теорія ймовірностей і математична статистика” для студентів напряму підготовки 6.040303 Системний аналіз.

Розглянуто основні розділи теорії ймовірності й математичної статистики, а саме: основні теореми теорії ймовірності, функції розподілу, числові характеристики випадкових величин, поширені закони розподілу, двовимірні випадкові величини, задачі на оцінювання параметрів розподілу, побудови лінії регресії, перевірки статистичних гіпотез. Велику увагу приділено розв’язуванню задач. У кінці кожного розділу розміщено питання для самоконтролю, приклади розв’язування і добірку задач для самостійної роботи.

Книга розрахована на осіб, що знайомі з математикою у межах вузівського курсу й призначена для студентів технічних спеціальностей та тих, хто використовує ймовірнісні методи при розв’язуванні практичних задач.

	УДК 519.2(075.8)
	ББК 22.17я73
	ÓІ.В. Новицький, С.А. Ус, 2010
ÓНаціональний гірничий університет, 2010

Зміст
Вступ…………………………………………………………………………….
Частина 1. Теорія ймовірностей…………………………………………….
Р о з д і л 1. Класичне й статистичне визначення ймовірностей……………
§ 1. Основні поняття теорії ймовірностей…………………………….
§ 2. Безпосередній розрахунок ймовірностей………………………...
§ 3. Статистичне визначення ймовірностей………………………......
§ 4. Геометричні ймовірності……………………………………….....
Висновки….……………………………………………….………...………….
Питання для самоконтролю...…….……………………………………………
Задачі до розділу 1…………………………………….…………….………….
Р о з д і л 2. Основні теореми теорії ймовірності………………….....………
§ 1. Поняття про суму та добуток подій………..…………...………...
§ 2. Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій…….....
§ 3. Теорема множення ймовірностей…………..……………...……..
§ 4. Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій………….
§ 5. Формула повної ймовірності….………………………...………...
§ 6. Формула Бейєса………….………………………………………...
Висновки… …………………………………………………………………….
Питання для самоконтролю……………………..………………...…………...
Задачі до розділу 2…………………………………….……………………….
Р о з д і л 3. Повторення випробувань……..…………..…….………………..
§ 1. Формула Бернуллі……..……………………………..…….……...
§ 2. Локальна теорема Лапласа….……..…..………………………….
§ 3. Інтегральна теорема Лапласа……………………….…….……....
§ 4. Формула Пуассона………………………………………...………
Висновки… …………………………………………………...………………..
Питання для самоконтролю……………………………..…………………......
Задачі до розділу 3……………………………………………..……………….
Р о з д і л 4. Випадкові величини…………………………………...…………
§ 1. Дискретні випадкові величини. Закони розподілу дискретних випадкових величин……………………………………………………
§ 2. Числові характеристики дискретних випадкових величин.…….
§ 3. Інтегральна функція розподілу випадкової величини……...…...
§ 4. Диференціальна функція розподілу випадкових величин……...
§ 5. Числові характеристики неперервних випадкових величин…...
Висновки… …………………………………………………………………….
Питання для самоконтролю………………………...………………………….
Задачі до розділу 4……………………………………………………………...
Р о з д і л 5. Найбільш поширені закони розподілу неперервних випадкових величин…………………………….……………….…….……….
§ 1. Рівномірний закон розподілу……………….……...…….….……
§ 2. Нормальний закон розподілу….…..……….…….………………
§ 3. Показовий закон розподілу…………………...…………………..
§ 4. Функція одного випадкового аргументу та її розподіл ……...…
§ 5. Функція двох випадкових аргументів. Розподіл суми двох незалежних доданків………………………………………..………….
Висновки… …………………………………………………………………….
Питання для самоконтролю…………………………………………………....
Задачі до розділу 5……………………………………………………………...
Р о з д і л 6. Системи випадкових величин………………….….………….…
§ 1. Двовимірні випадкові величини…………………………...……..
§ 2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини………….
§ 3. Щільність спільного розподілу двовимірної випадкової величини...................................................................................................
§ 4. Щільність розподілу складових двовимірної випадкової величини. Залежні та незалежні випадкові величини…….................
§ 5. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.......................................
Висновки… ………………………………………………...………….……….
Питання для самоконтролю................................................................................
Задачі до розділу 6……………………………………………………………...
Частина 2. Елементи математичної статистики.........................................
Р о з д і л 7. Вибірковий метод...........................................................................
§ 1. Генеральна та випадкова сукупності. Статистичний розподіл вибірки…………………………………………………………………..
§ 2. Статистичні оцінки параметрів розподілу.....................................
§ 3. Точність оцінки. Довірча ймовірність (надійність). Довірчий інтервал....................................................................................................
§ 4. Довірчі інтервали для оцінки параметрів нормального розподілу …………………………….....................................................
Висновки… …………………………………………………………………….
Питання для самоконтролю................................................................................
Задачі до розділу 7……………………………………………………………..
Р о з д і л 8. Елементи теорії кореляції..............................................................
§ 1. Функціональна, статистична та кореляційна залежності.............
§ 2. Відшукування параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії за незгрупованими даними.......................................................
§ 3. Відшукування параметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії за згрупованими даними...........................................................
§ 4. Міра будь-якого кореляційного зв’язку.........................................
Висновки… …………………………………………………………………….
Питання для самоконтролю...............................................................................
Задачі до розділу 8……………………………………………………………...
Р о з д і л 9. Статистична перевірка статистичних гіпотез..............................
§ 1. Статистичні гіпотези. Критерій перевірки нульової гіпотези.....
§ 2. Гіпотези про параметри нормального розподілу………..............
2.1. Перевірка гіпотези: H0: a = a 0...............................................
2.2. Перевірка гіпотези H0: ax – ay = a 0………………………...
2.3. Перевірка гіпотези: ……………………………
2.4. Перевірка гіпотези: ……………………………..
§ 3. Перевірка гіпотези про розподіл генеральної сукупності. Критерій згоди Пірсона..........................................................................
Висновки… …………………………………………………………………….
Питання для самоконтролю................................................................................
Задачі до розділу 9…….………………………………………………………..
Додаток 1………………………………………………………………………..
Таблиця 1. Значення функції: ………………....
Таблиця 2. Значення функції: ………………...
Таблиця 3. Значення функції: tg=t(g,n)………………………………...
Таблиця 4. Значення функції: q=q(g,n)……………………………......
Таблиця 5. Критичні точки розподілу c2…………...……………..….
Таблиця 6. Критичні точки розподілу Фішера – Снедекора………..
Таблиця 7. Критичні точки розподілу Стьюдента ........................
Додаток 2………………………………………………………………………..
Таблиця 1. Властивості ймовірностей подій………….……………...
Таблиця 2. Числові характеристики випадкових величин…………..
Таблиця 3. Властивості математичного сподівання та дисперсії…...
Таблиця 4. Закони розподілу неперервних випадкових величин…...
Таблиця 5. Статистичні оцінки числових характеристик вибірки….
Предметний покажчик……………………………………………...…………
Список літератури……………………………………………………...………

Вступ

У сучасних умовах розвитку виробництва будь-який керівник, вирішуючи проблеми управління підприємством, плануючи його діяльність, повинен швидко і правильно приймати рішення. При цьому належить враховувати багато факторів, зокрема зростання обсягів виробництва, охорону довкілля, рівень розвитку техніки, соціальні та економічні аспекти, більшість з яких мають випадковий характер.

У цих умовах рішення, що прийняті тільки з огляду на особистий досвід та інженерну інтуїцію, можуть виявитися малоефективними. Враховуючи, що сучасне виробництво відзначається високою капіталомісткістю, це різко підвищує збитки від помилок у прогнозуванні діяльності та управлінні. Така ситуація вимагає застосування методів, що враховують вплив невизначених, у тому числі й випадкових параметрів. Тому знання теорії ймовірності й математичної статистики для спеціаліста-аналітика та й для інженера взагалі, – без сумніву, необхідна умова успішної роботи.

Цей навчальний посібник охоплює матеріал, передбачений програмою курсу “Теорія ймовірності й математична статистика”. Книга має на меті ознайомити студентів із основами теорії ймовірності, навчити їх розв’язувати практичні задачі, що потребують імовірнісного підходу, прищепити вміння використовувати математичні методи для розв’язування таких задач, виробити ймовірнісно-статистичне мислення та інтуїцію.

Посібник включає дві частини: теорію ймовірності та елементи математичної статистики.

У першій частині викладено основи теорії ймовірності. Тут розглянуто класичне й статистичне визначення ймовірності, основні теореми теорії ймовірності, описано одновимірні випадкові величини і найбільш поширені закони їх розподілу. Розгляд багатовимірних випадкових величин обмежено двовимірними величинами.

Елементи математичної статистики розглянуто в трьох розділах. Зокрема, описано вибірковий метод визначення оцінок параметрів, подано основи теорії кореляції та методику статистичної перевірки статистичних гіпотез.

Для полегшення роботи студентів усі розділи супроводжуються великою кількістю прикладів розв’язування типових задач та питаннями для самоконтролю, які дозволяють перевірити рівень засвоєння матеріалу, до кожного розділу запропоновано задачі для самостійного розв’язування. У додатках розміщено таблиці, які включають необхідні дані для розв’язування задач (додаток 1), а також таблиці, які узагальнюють вивчений матеріал (додаток 2).