Предел функции в бесконечности и точке

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь натуральные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения.

Опр. Число А называется пределом функции при x, стремящемся к бесконечности, если для любого существует такое положительное число S (зависящее только от ), что при всех выполняется неравенство

.

Пусть функция задана в окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Опр. Число А называется пределом функции при x, стремящемся к а, если для любого существует такое положительное число (зависящее только от ), что при всех x, не равных а и удовлетворяющих условию выполняется неравенство

.

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке а.

Замечание 2. Если при стремлении x к а переменная x принимает лишь значения, меньшие а, или, наоборот, большие а, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Функция имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует левый и правый предел и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.