РЕШЕНИЕ. Находим общее решение однородного уравнения

Находим общее решение однородного уравнения . Записываем характеристическое уравнение

,

и определяем его корни . Поскольку корни комплексные, общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

В нашем случае , , откуда .

Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид , где , , . Частное решение ищем в виде: ,

где - число корней характеристического уравнения, равных . Такой корень один, следовательно, и

.

Дважды дифференцируя данное равенство, получим:

,

.

Подставляя данные соотношения в исходное уравнения и приводя подобные, получим:

.

Для того чтобы данное равенство было справедливым, коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях должны быть равны. Получим:

Откуда

, .

Тогда частное решение есть

.

Для общего решения получим:

.