РЕШЕНИЕ. Находим сначала общее решение однородного уравнения

Находим сначала общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет вид

,

а его корни равны , .

Корни характеристического уравнения действительные и различные, следовательно:

- общее решение однородного уравнения.

Определяем вид частного решения. Правая часть уравнения имеет вид , где , n=1, и . . Определим число r, равное числу корней характеристического уравнения, равных числу . Так как есть один корень характеристического уравнения, равный числу , то r=1. Следовательно, частное решение будем искать в виде:

.

Дифференцируем данное равенство, используя формулу для производной произведения:

.

Аналогичным способом находим вторую производную:

.

Подставим найденные функции в исходное уравнение:

.

Сокращая на и группируя члены при одинаковых степенях, получим:

,

или после упрощений

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, имеем систему уравнений:

,

откуда

, .

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

.

Для общего решения, окончательно имеем:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .