РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является неоднородным

Данное уравнение является неоднородным. Согласно рассмотренной выше теореме общее решение такого уравнения есть: .

Для нахождения общего решения однородного уравнения запишем характеристическое уравнение:

.

Легко проверить, что его корни действительны и равны: . Следовательно:

- общее решение однородного уравнения.

Ищем теперь частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения , то , n=1, и . . Определим число r, равное числу корней характеристического уравнения, равных числу . Так как нет корней характеристического уравнения, равных числу , то r=0. Следовательно, частное решение будем искать в виде:

.

Дифференцируя данное равенство дважды, находим:

, .

Подставляя найденные , и в исходное уравнение, получаем:

.

Для того, чтобы данное равенство выполнялось (то есть для того чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению), коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства должны быть равны.

Приравняем коэффициенты при x: в правой части соответствующий коэффициент равен А, а в левой 1. Имеем: .

Теперь приравниваем коэффициенты при , то есть свободные члены:

.

Подставляя сюда найденное значение А, найдем В:

Þ .

Следовательно, частное решение есть:

Складывая и , получим искомое общее решение неоднородного уравнения:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .