Где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-либо частное решение неоднородного

Рассмотрим сначала решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами:

(10)

Общее решение этого уравнения находится следующим образом. Сначала делаем подстановку

.

Подставляя в уравнение (10), получим:

Поскольку ни при каких значениях х выражение не обращается в ноль, то

.

Это уравнение относительно k называется характеристическим. Вид общего решения уравнения (10) зависит от корней характеристического уравнения.

Здесь возможны три случая:

· Если корни характеристического уравнения действительные различные ( и ), то общее решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:

;

· Если корни характеристического уравнения действительные равные (), то общее решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:

;

· Если корни характеристического уравнения комплексные (), то общее решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:

.

Таким образом, решение однородных линейных уравнений второго порядка по сути сводится к решению квадратных уравнений.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .