Тип: уравнения вида. Это уравнение не содержит в явном виде переменную х

(8)

Это уравнение не содержит в явном виде переменную х. Оно решается подстановкой , тогда, по правилу нахождения производной сложной функции . После подстановки в уравнение получается ДУ первого порядка относительно неизвестной функции z(у). Решая его, находим эту функцию и интегрируя ее по у, возвращаемся к старой переменной у.

ПРИИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не содержит в явном виде переменной x и относится к типу (8). В таких уравнениях порядок понижается путем замены .

Дифференцируя z как сложную функцию, получаем

.

В результате исходное уравнение приобретает вид:

.

Отметим, что под понимается производная по y, то есть .

Разделив полученное уравнение на , получим:

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим функцию :

Þ Þ Þ Þ .

Возвращаясь к исходным переменным, имеем уравнение на функцию :

,

которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Решая его, получим общее решение исходного уравнения:

Þ Þ

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .