То такое ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными

Метод решения таких уравнений называется методом разделения переменных.

Для его использования запишем производную как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной и все, что содержит переменную х, соберем в одной части равенства, а все, что содержит переменную у – в другой:

Интегрируем полученное равенство и получаем общее решение уравнения:

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Выразим из этого уравнения :

.

Видно, что данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (2), то есть его можно привести к виду:

, где .

Представим производную в виде

: .

Перенося в одну сторону члены содержащие x, а в другую - члены содержащие y, получим:

.

Интегрируя левую часть по x, правую по y, имеем:

,

или

.

Производя потенцирование (операция обратная логарифмированию), получим общее решение уравнения:

.

Поскольку мы вычисляли неопределенные интегралы от обеих частей уравнения, после интегрирования мы должны к одной из них прибавить произвольную константу С. Однако, в силу ее произвольности, мы можем прибавлять любую функцию от С. В данном случае, для приведения окончательного ответа к более компактному виду, мы прибавили . Данный прием будет часто применятся нами в дальнейшем.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Группируя члены содержащие производную, приведем уравнение к виду:

.

Выражаем :

и видим, что данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными при . Уединяя члены, содержащие x и y, и интегрируя, получим:

.

Интеграл по y является табличным:

.

Произвольную константу С, можно прибавлять к любой части уравнения, поэтому пока опустим ее и добавим после интегрирования правой части.

Интеграл по х приводится к табличному, если выделить в знаменателе полный квадрат:

.

Приравнивая интегралы от правой и левой частей, получим:

,

или окончательно

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию: .

РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти частное решение, сначала найдем общее решение ДУ. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Чтобы убедиться в этом, вынесем в первом и втором слагаемом соответственно x и y за скобки и разделим уравнение на :

.

Тогда и получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

и интегрируем обе части равенства. Соответствующие интегралы легко вычисляются с помощью подведения переменных x и y под знак дифференциала:

Þ Þ .

Подставляя начальное условие в общее решение, получим:

Þ ,

откуда частное решение

.