Если g(x) не равно 0, то уравнение называется неоднородным

Однородные уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными (2), поэтому мы на них не останавливаемся.

Рассмотрим решение неоднородных линейных уравнений первого порядка.

Метод решения линейного ДУ первого порядка заключается в замене

где - неизвестные произвольные функции, одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая должна определятся из уравнения (4).

Дифференцируя данное равенство по получим: . Подставляем в уравнение (4):

Далее будем группировать слагаемые. Можно группировать первое и третье слагаемые, а можно второе и третье. От выбора группировки результат не изменится. Сгруппируем первое и третье слагаемые:

Найдем какое-либо частное решение уравнения . Это будет уравнение с разделяющимися переменными. Его решением будет функция . Тогда функция будет решением уравнения . Искомую функцию у находим как произведение двух найденных функций: .

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Разделив обе части уравнения на , получим

.

Видно, что данное уравнение является линейным относительно и , где . Положим , где - неизвестные произвольные функции. Дифференцируя данное равенство по получим:

.

При подстановке полученных соотношений в исходное уравнение, последнее принимает вид:

.

В полученном уравнении сгруппируем члены, содержащие :

.

В силу произвольности функций , выберем их таким образом, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е. . Отсюда получаем систему уравнений

Первое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и легко решается: Þ Þ Þ Þ .

Отметим, что поскольку общее решение уравнения должно зависеть только от одной произвольной константы, ее достаточно добавить после нахождения любой из функций . Поэтому при нахождении константу С пока опускаем.

Подставляя теперь найденную функцию во второе уравнение системы, получаем:

,

или, умножая обе части на х:

.

Видим, что в уравнении на функцию переменные легко разделяются:

,

откуда, после интегрирования

.

Из равенства , получим общее решение уравнения:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

РЕШЕНИЕ:

Разделив правую и левую часть уравнения на , и учитывая, что , получим:

.

Видно, что данное уравнение является линейным, где .

В соответствии с общим методом полагаем

, .

Подставив данные соотношения в исходное уравнение, получим:

.

Группируя члены, содержащие , имеем:

.

Полагая выражение в скобках равным нулю, получим систему уравнений:

Разделяя переменные в первом уравнении, и интегрируя, находим функцию :

Þ Þ .

Интеграл по является табличным, а для вычисления интеграла по х представим в виде и подведем под знак дифференциала:

Þ Þ Þ .

Подставим теперь найденную функцию во второе уравнение:

Þ Þ Þ Þ .

Откуда общее решение уравнения:

.

Умножая числитель и знаменатель на 2, приводим решение к виду:

.

Поскольку С – произвольное число, мы можем принять 2 С за новую постоянную. Вводя обозначение , окончательно получим:

.

ПРИМЕР. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: , .