Устойчивость оптимизационного решения

При исследовании экономических экстремальных задач важно выявить допустимую область изменения параметров задачи, при которой сохраняется ее решение. Совокупность оптимальных решений задачи является дискретной, и для каждого из них имеется диапазон значений из непрерывного интервала параметров. Определив соответствие между ди­скретной совокупностью решений и набором интервалов, можно говорить об областях устойчивости решения задачи.

Рассмотрим простейшую задачу линейного программиро­вания:

Ее оптимальное решение включает х₁ = 16 ²⁹/₃₁ и х₂ = 12 ²⁸/₃₁.

Двойственные оценки соответствуют решению системы уравнений:

Пусть коэффициент 1,4 в целевой функции заменяется на случайный параметр С. Двойственные оценки y ₁ и y ₂ в этом случае равны:

Для оптимального решения задачи необходимы положительные y ₁ и y ₂: 42–25С ³ 0; 40С–30 ³ 0. Отсюда следует, что решение х₁ = 16²⁹/₃₁ и х₂ = 12²⁸/₃₁ остается оптимальным для следующего интервала значений: 0,75 £ С £ 1,68. Если параметр С выходит за пределы допустимого интервала значений, то необходимо получить новое решение задачи.

Аналогичное исследование можно выполнить для выявления интервалов изменения ресурсов в ограничениях. Пусть система ограничений имеет вид:

где d ₁, d ₂, d ₃ – свободные переменные; l – случайный параметр. В оптимальном решении d ₁ = d ₃ = 0, и, следовательно, решение этой системы уравнений будет иметь вид

х₁ = 16 ²⁹/₃₁ – l/155;

х₂ = 12 ²⁸/₃₁ – 14l/155;

d ₂ = 12 ²⁸/₃₁– 202l/155;

Данное решение имеет только структурную устойчивость для интервала значений l от –142⁶/₇ до 19¹⁸⁷/₂₀₂.