Пример 2. В задаче выбора вариантов примем, что для получения результата в виде максимально возможной прибыли необходимо два вида ресурсов: материальные и трудовые

В задаче выбора вариантов примем, что для получения результата в виде максимально возможной прибыли необходимо два вида ресурсов: материальные и трудовые. Возможны четыре варианта расхода ресурсов и получения прибыли (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Исходные данные

Показатели	Варианты	Наличие
Прибыль, д.е./ед. Материальные ресурсы Трудовые ресурсы					–

Требуется выбрать, какие варианты принять для реализации при условии, чтобы общее число принятых вариантов не превышало трех (k £ 3).

Решение

Для составления модели примем, что j -му варианту будет соответствовать d _j (j = 1..4). При этом

Тогда математическая модель задачи запишется

Таблица 3.3

Результаты решения

Оптимальное решение	Дополнительные условия
нет	d2 = d4	d3 + d4 = 1
d10 d20 d30 d40
Прибыль (max L)

Последняя строка системы обеспечивает выполнение условия, чтобы общее число принятых вариантов не превышало трех.

Из результатов решения этой задачи (первый столбец табл. 3.3) видно, что наибольшая прибыль (max L = 300) будет получена в том случае, если будут приняты третий и четвертый варианты.

С помощью булевых переменных можно накладывать дополнительные логические связи между вариантами. Например, требуется, чтобы четвертый вариант был принят только в том случае, если принят второй; а если же второй вариант не принят, то и четвертый не должен быть принят. Это условие можно записать так: d₂ = d₄ или в форме записи ограничений d₂–d₄ = 0 (результат решения этой задачи во втором столбце табл. 3.3).

Может быть сформулирован и другой вариант дополнительных условий, например, требуется, чтобы был принят либо третий вариант, либо четвертый, то есть d3 + d4 = 1 (результат решения в третьем столбце).

Сравнивая значение прибыли в оптимальном решении (max L = 300) с прибылью при выполнении дополнительных условий, можно сделать вывод, что они, как всегда приводят к снижению прибыли.

Переходя от примера с дополнительными условиями к общему случаю задачу выбора вариантов можно записать так:

,

где последнее ограничение может учитывать самые разнообразные условия:

Если накладывается требование “ должен ”, то в ограничении ставится знак равенства: d₁ + d₂ + d₃ + d₄ = 3 (число принятых вариантов “должно быть” три).

Если требование “ может ”, то – знак неравенства, в частности:

- Если накладывается требование “ И ”, то , например принятие и первого и третьего вариантов запишется d₁ + d₃³ 1.

- Если для вариантов накладывается требование “ ИЛИ ”, то условие запишется .

Значит, если обозначить d_б – соответствует “быть”, d_нб – “не быть”, то извечный вопрос “быть или не быть” запишется d_б + d_нб = 1. В этом случае есть два допустимых решения: d_б = 1, d_нб = 0 – означает “быть”; d_б = 0, d_нб = 1 – означает “не быть”. Так как целевая функция не сформулирована, то дать оптимальный ответ на этот вопрос невозможно. Чтобы принять решение, необходимо знать, чего мы хотим. Но об этом мы уже неоднократно говорили.