Тема. Случайные события. Классическое определение

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей – это дисциплина, занимающаяся изучением случайных явлений и закономерностей этих явлений. Основными понятиями теории вероятностей являются испытание и событие.

Испытание – реализация некоторой совокупности одних и тех же условий.

Событие – результат испытания. Событие может произойти или не произойти в результате испытания.

Например, стрелок стреляет по мишени. Выстрел – это испытание. Поражение по мишени – это событие.

События обозначают большими буквами A, B, C, D,… латинского алфавита.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Например, наступление дня по прошествии ночи.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Например, выпадение семи очков при бросании кубика.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо «орёл», либо «решка».

Пусть некоторым испытанием могут произойти события А, В, С,…

Определение 1. Событие , состоящее в не наступлении события в данной ситуации, называется событием, противоположным событию .

Пример 1. Пусть проводиться испытание – из колоды карт вынимается одна карта. Тогда - вынута карта красной масти, - вынута карта чёрной масти.

Пример 2. Испытание – покупка билетов на концерт. Тогда - все билеты проданы, - хотя бы один билет не продан.

Определение 2. Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий в данном испытании.

Пример 1. Испытание – вынимают одну карту из колоды карт.

карта пиковой масти, карта с картинкой «валет».

Тогда карта либо пиковой масти, либо с картинкой валет.

Пример 2. Испытание – производится два выстрела из орудия.

попадание при первом выстреле, попадание при втором выстреле.

Тогда попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Замечание. Сумма событий и есть событие достоверное.

Определение 3. Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из событий в данном испытании.

Пример. Испытание – производится два выстрела из орудия.

Пусть поражение мишени при первом выстреле, промах при первом выстреле, поражение мишени при втором выстреле, промах при втором выстреле.

Тогда событие означает поражение мишени при двух выстрелах; событие промах при двух выстрелах.

Определение 4. Говорят, что событие влечёт событие в данном испытании, если, как только произойдёт , так сразу произойдёт : .

Пример. Испытание – подбрасывается игральный кубик.

выпало 6 очков, выпало чётное число очков.

Тогда в случаях и событие влечёт событие .

Определение 5. Если наряду с тем, что и , то события и называются равносильными.

Пример. студент-отличник, студент учится на «отлично».

равносильные события.

Определение 6. Разностью двух событий и называется событие, состоящее в наступлении события и ненаступлении события .

Пример. Испытание – турист имеет возможность посетить 2 города: А и В.

Тогда - турист посетил город А и не посетил город В.

Определение 7. События и называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление другого.

Пример 1. Проводим испытание – из ящика с деталями наудачу извлекаем деталь.

Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. появилась стандартная деталь, появилась нестандартная деталь. несовместные события.

Пример 2. Испытание – бросается монета. Появление герба исключает появление надписи.

появился герб, появилась надпись. несовместимые события.

Замечание. Произведение несовместных событий есть событие невозможное.

Пусть в некотором испытании возможно наступление событий .

Определение 8. События образуют полную группу событий, если в результате испытания хотя бы одно обязательно наступает, т. е. сумма этих событий есть событие достоверное.

Пример 1. Испытание – подбрасывается игральный кубик.

Рассмотрим группу события: выпало одно очко, выпало два очка, выпало три очка, выпало четыре очка, выпало пять очков и выпало шесть очков. События образуют полную группу событий.

Определение 9. События , образующие полную группу событий, называются попарно несовместными, если произведение ,где , есть событие невозможное.

Определение 10. События называются неопределяемыми или равновозможными, если нет основания считать какое-либо из них более возможным, чем другие.

Пример 1. Пусть имеется 10 шаров, из которых 5 чёрных и 5 красных. Проводим испытание – вынимаем один шар.

вынули красный шар, вынули чёрный шар. равновозможные события.

Пример 2. Испытание – подбрасывается монета.

выпала цифра, выпал герб. равновозможные события.

Замечание. Вывод о равновозможных событиях делается из соображения симметрии, т.е. считается, что события поставлены в равных условиях.

Например, во втором примере делается соображение, что монета изготовлена из однородного материала, наличие чеканки не влияет на центр тяжести, и она представляет собой круг, т.е. она симметрична.