Элементы комбинаторики

Вариант 1

1. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно расп­ределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закреп­ляется один проводник?

2. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

3. В команду по плаванию должны входить 4 юноши и 2 девушки. Сколь­кими способами можно составить такую команду, если имеются 8 юно­шей и 5 девушек?

Вариант 2

1. Сколькими способами можно составить список из 10 студентов?

2. Студенты группы, состоящей из 25 человек, обменялись друг с дру­гом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

3. На дежурство в ДНД прибыло 30 студентов и 5 преподавателей. Сколь- ко различных маршрутов можно из них составить, если каждый марш­рут состоит из 6 студентов и I преподавателя?

Вариант 3

1. Из цифр 0, I, 2, 3 составлены всевозможные четырехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел?

2. Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по два элемента в каждом?

3. Каким количеством способов можно выбрать 2 карандаша и 3 ручки из имеющихся 5 различных карандашей и 5 различных ручек?

Вариант 4

1. Из цифр I, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые на­чинаются цифрой 3?

2. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить возможное количество таких расписаний при выбореиз 11 дисциплин.

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы, состоящей из 20 человек?

Вариант 5

I. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые не начинаются с цифры 5?

2. Сколько можно составить различных семизначных телефонных номеров, если разрешить использовать любую цифру на любом месте? Какая частьиз таких номеров состоит из различных цифр?

3. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга. Определить количество встреч, какое следует провести.

Вариант 6

1. Из цифр I, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые начи­наются с 54?

2. Группа из 25 человек выбирает из своего состава старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

3. В вазе стоят 10 красных и 6 розовых гвоздик. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветков, если букет состоит из 3 крас­ных и 2 розовых гвоздик?

Вариант 7

1. Из цифр I, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые не начинаются с числа 34?

2. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов?

3. Сколько человек участвовало в шахматном турнире, если известно, что каждый участник сыграл с каждым из остальных по одной партии, а всего было сыграно 120 партий?

Вариант 8

1. Сколько всевозможных пятизначных чисел можно составить из цифр О, I, 2, 3, 4, не повторяя цифры в числе?

2. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами можно выбрать этих пять человек?

3. Подмножеством данного множества называется любая часть этого мно­жества. Данное множество состоит из шести элементов. Найти число трехэлементных подмножеств данного множества.

Вариант 9

1. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр I, 2, 3, не повторяя цифры в числе.

2. Сколькими способами можно разместить три лошади в четырех стой­лах?

3. В школе собрались 10 учеников. Каждый приходящий ученик рукопо­жатием здоровается с уже собравшимися учениками. Определить чис­ло рукопожатий.

Вариант 10

1. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр I, 3, 5, не повторяя цифры в числе.

2. На станции имеются 8 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них три поезда?

3. Имеются 6 предметов. Сколькими способами их можно распределить на две группы так, чтобы в одной группе было 2 предмета, а в другой 4?

Вариант 11

1. Найти сумму цифр всех пятизначных чисел, составленных из цифр I, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются.

2. Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

3. В шахматном турнире участвуют 8 студентов. Каждый из участников с каждым из остальных должен сыграть две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?

Вариант 12

1. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые начинаются с 123?

2. Из скольких элементов можно составить 56 размещений по два элемента в каждом?

3. Сколько различных диагоналей можно провести в восьмиугольнике?

Вариант 13

1. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые начинаются с 67?

2. Число размещений из n элементов по 2 в 7 раз больше числа размещений из n - 4 элементов по 2. Найти n

3. Из 20 кандидатов в счетную комиссию необходимо избрать трех. Сколькими способами можно это сделать?

Вариант 14

1. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые на­чинаются с цифр I, 2, 3, причем эти цифры расположены в любом по­рядке и занимают первые три места?

2 Определить число n из условия:

3. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами можно составить такой букет?

Вариант 15

1. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые на­чинаются с рядом стоящих цифр I и 2?

2. Найти m из условия

3. Из 10 юношей, 8 мальчиков и 5 девушек нужно составить шахматную команду, в которой входили бы 4 юноши, I мальчик и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 16

1. На книжной полке помещается 10 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома стояли рядом?

2. Сколькими способами можно выбрать 3 человека на 3 различные долж­ности из 10 кандидатов на эти должности?

3. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера?

Вариант 17

1. Вычислить сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые могут быть записаны с помощью цифр I, 4, 2, 5 без повторений.

2. Сколько можно составить различных пятизначных телефонных номеров, если разрешить использовать любую цифру на любом месте? Какая частьиз таких номеров состоит из различных цифр?

3. Сколько различных аккордов можно взять на 6 выбранных клавишах - рояля, если каждый аккорд может содержать от 3 до 6 звуков?

Вариант 18

1. Сколькими способами можно рассадить за столом 5 человек?

2. Сколько можно составить различных шестизначных телефонных номеров, если разрешить использовать любую цифру на любом месте? Какая частьиз таких номеров состоит из различных цифр?

3. Из 10 различных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило нечетное количество и не менее трех цветков. Сколько способов существует для составления такого букета?

Вариант 19

1. Сколько пятизначных чисел, делящихся на 10, можно составить из цифр 0, I, 3, 5, 8, если цифры в числе не повторяются?

2. Группа из 25 человек выбирает комсорга и его заместителя. Сколь­кими способами это можно сделать?

3. Учащийся имеет по одной монете достоинством в I, 2, 5, 10, 25, 50 копеек. Сколькими способами он может эти монеты разложить в два кармана?

Вариант 20

1. Сколько пятизначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, I, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?

2. Группа из 25 человек избирает старосту, комсорга, профорга и трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если делегатом конференции может быть любой студент группы?

3. Сколькими способами можно группу из 15 студентов разделить на две группы так, чтобы в одной группе было четыре человека, а в другой одиннадцать?

Вариант 21

1. Сколько шестизначных чисел, делящихся на 2, можно составить из цифр I, 2, 3, 4, 5, 6?

2. Группа из 25 человек избирает старосту, его заместителя, профорга и трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сде­лать, если в число делегатов конференции не избираются староста, комсорг и профорг?

3. Сколько человек участвовало в шахматном турнире, если известно, чтокаждый участник сыграл с каждым из остальных по одной партии, а всего было сыграно 210 партий?

Вариант 22

I. Найти сумму цифр всех пятизначных чисел, которые могут быть составлены из цифр 0, I, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяют­ся.

2. Сколько можно составить различных четырехзначных телефонных номеров, если разрешить использовать любую цифру на любом месте? Какая частьиз таких номеров состоит из различных цифр?

3. Сколько можно составить из простых делителей числа 3570 составных чисел, каждое из которых содержит только три простых делителя? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и на себя).

Вариант 23.

1. Сколько чисел, начинающихся с цифры 5, можно получить, переставляя всевозможными способами цифры числа 19052?

2. Сколько можно составить различных шестизначных телефонных номеров, если разрешить использовать любую цифру на любом месте? Какая частьиз таких номеров состоит из различных цифр?

3. Сколько можно составить из простых делителей числа 2310 составных чисел, если каждое число содержит только два простых делителя?

Вариант 24

1. Сколько пятизначных чисел, оканчивающихся цифрой 9, можно получить, переставляя всевозможными способами цифры числа 19058?

2. Сколькими способами можно составить трехцветные флагииз пяти различных цветов?

3. В группе 25 студентов. Из них нужно избрать 3 делегата на конфе­ренцию. Сколько имеется возможностей такого выбора?

Вариант 25

1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2, 3, 4, 5, в которых на втором месте стоит цифра 5, если цифры в числе не повторяются?

2. Сколько можно составить различных двухцветных флагов, имея в своем распоряжении ткань восьми различных цветов?

3. Сколько прямых линий можно провести через десять точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой?