Моменты. Асимметрия. Эксцесс

Начальным моментом k -го порядка случайной величины называется математическое ожидание ее k -й степени,

. (51)

Например, математическое ожидание случайной величины является ее начальным моментом первого порядка,

.

Центральным моментом k -го порядка случайной величины называется математическое ожидание k -й степени ее отклонения от своего математического ожидания,

. (52)

Например, дисперсия случайной величины является ее центральным моментом второго порядка,

.

На основании формул (51), (52), в которых нужно положить

,

центральный момент k -го порядка вычисляется по формуле

(53)

для дискретной случайной величины и

(54)

для непрерывной.

В теории вероятностей, наряду с математическим ожиданием и дисперсией (или среднеквадратическим отклонением) случайной величины , наиболее часто используются ее центральные моменты третьего и четвертого порядков и производные от них безразмерные величины – асимметрия

(55)

и эксцесс

. (56)

Если распределение случайной величины симметрично относительно своего математического ожидания, то ее асимметрия равна нулю. О вероятностном смысле эксцесса мы скажем позже, рассматривая так называемое нормальное распределение, эксцесс которого равен нулю.

Пример 1. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины, которая задана таблицей распределения (см. пример 1 раздела 12)

Рядом с таблицей распределения заданной случайной величины мы поместили таблицу распределения ее квадрата.

По формуле (41)

.

По формуле (45)

.

По формуле (49)

.

По формуле (50)

.

По формуле (53)

.

					=
	0.625	0.625		0.625	-0.5	-0.125	-0.078	0.063	0.039
	0.268	0.536		1.072	0.5	0.125	0.036	0.063	0.017
	0.089	0.267		0.801	1.5	3.375	0.300	5.063	0.451
	0.018	0.072		0.288	2.5	15.625	0.281	39.063	0.703
	1.00	1.500		2.786			0.539		1.21

По формуле (55)

.

По формуле (53)

.

По формуле (56)

.

Для удобства можно свести все вычисления в одну таблицу

Пример 2. Дискретная случайная величина с известными математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением может принимать только два значения , причем , и вероятность меньшего значения известна, . Найти закон распределения случайной величины.

Так как , то решение задачи сводится к нахождению .

На основании формул (41), (45), (55), (50) имеем

.

Следовательно, мы должны решить систему уравнений относительно ,

Квадратное уравнение дает два значения , именно 4 и 19/5, которым соответствуют два значения , а именно 3 и 24/5. Условию задачи удовлетворяют то-лько значения и .

Пример 3. Доказать, что математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение распределения Бернулли соответственно равны

(57)

■Количество успехов в n независимых испытаниях можно представить в виде суммы n независимых случайных величин

,

где - количество успехов в i -м испытании. Распределения и задаются таблицами распределения

	P	q = 1 - p		p	q = 1 - p

Отсюда

На основании свойств математического ожидания и дисперсии получаем

,

.■

Пример 4. Доказать, что математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона с параметром a равны

. (58)

■Для доказательства достаточно, на основании сказанного в разделе 11, перейти в формулах (57) к пределу при при условии, что произведение . Получим

.■

Пример 5. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.95. В каждой партии содержится 10 изделий. Сколько партий в среднем содержат по 9 стандартных изделий, если проверке подлежит 100 партий?

Сначала найдем вероятность того, что наудачу проверенная партия содержит 9 стандартных изделий. По формуле Бернулли (вероятность 9 успехов в 10 независимых испытаниях с постоянной вероятностью 0.95 успеха)

.

Теперь нужно найти математическое ожидание случайной величины - количества партий с 9 стандартными изделиями из 100 проверяемых партий. Имеем независимых испытаний с постоянной вероятностью

успеха (появления партии с 9 стандартными изделиями). Так как случайная величина имеет распределение Бернулли, то ее математическое ожидание по формуле (63) равно

.

Таким образом, из подлежащих проверке 100 партий в среднем 31 партия содержит 9 стандартных изделий.

Пример 6. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет рав-

номерное распределение на интервале , если плотность ее распределения

Доказать самостоятельно, что и что

(см. рис. 1 а, б).

Найти далее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение равномерного распределения.

По формуле (43)

.

По первой из формул (46)

Поэтому по формулам (49), (50)

Рис. 1 а Рис. 1 б.

Ответ. Для равномерного распределения на интервале имеем

. (59)

Пример 7. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если плотность ее распределения дается формулой

Здесь - некоторый положительный параметр. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение показательного распределения.

Доказательство того, что

предоставляем учащимся. Графики функций изображены на рис. 2 а, б. Ограничимся нахождением названных числовых характеристик.

По формуле (44)

.

Рис. 2 а Рис. 2 б По формуле (46) в результате двух интегрирований по частям (с аналогичным использованием правила Лопиталя во внеинтегральных членах) находим, что

,

откуда

.

Следовательно, для показательного распределения с положительным параметром математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение совпадают и равны

. (60)