 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Uml;Пример 5.1
|
|
Предположим, что если верна гипотеза 
, то критерий 
распределен по нормальному закону N (5,3) 
(т.е. математическое ожидание 
, дисперсия 
), а если верна конкурирующая гипотеза 
, то критерий распределен по закону N (15,3). Требуется вычислить мощность критерия, когда в качестве критической рассматривается область больших значений, и мощность, когда в качестве критической рассматривается область больших по модулю значений. Уровень значимости 
возьмем 0.05.
Решение:
В первом случае границу правосторонней критической области найдем из условия
,
поэтому 
Значит, 
. По таблицам значений функции 
находим, что
.
Поэтому границы правосторонней критической области 
. Чтобы вычислить ошибку второго рода 
, нужно найти вероятность попадания в область допустимых значений 
при условии, что гипотеза неверна. В этом случае считается справедливой гипотеза , а критерий будет распределен по закону N (15,3). Значит,
и мощность критерия 
.
Во втором случае правая граница критической области 
вычисляется из условия
Поэтому
.
Значит, 
. Левая граница критической области симметрична с точкой 
относительно точки 
, т.е. левая граница 
. Тогда вероятность ошибки 
составит
Поэтому мощность критерия во втором случае равна 
. Значит, односторонняя критическая область больших значений является предпочтительной.
На основе вышеизложенного сформулируем основные этапы проверки статистической гипотезы:
1. Выдвигается нулевая гипотеза Н0 (т.е. предположение нуждающееся в проверке) и альтернативная гипотеза Н1.
2. Задается величина уровня значимости α.
3. Задается некоторая функция от результатов наблюдения - (критическая статистика, которая сама является случайной величиной). В предложении о справедливости гипотезы Н0 эта функция подчиняется некоторому хорошо изученному закону распределения и обычно задается в форме таблицы.
4. Из таблицы находят 
и 
точки, которые делят всю область на 3 части:
· область неправдоподобно малых значений
· область вероятностных значений
· неправдоподобно больших значений
Рассмотрим более подробно задачу проверки гипотез о законе распределения, так как во многих практических задачах возникает необходимость определения закона распределения исследуемой случайной величины, проверка согласованности теоретических и эмпирических функций распределения.
В этом случае прежде всего ставится нулевая гипотеза H0 о том, что случайная величина подчиняется конкретному теоретическому закону распределения F(х). Выдвинутая для проверки гипотеза проверяется по выборке из генеральной совокупности. Предварительно по выборке строится эмпирическая функция распределения исследуемой величины. Затем производится сравнение эмпирического и теоретического распределения с помощью специально подобранных, так называемых, критериев согласия. Различают несколько критериев согласия: χ 2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Наиболее часто употребляется критерий согласия χ 2 Пирсона (хи квадрат).
Критерий χ 2 (хи квадрат - критерий К.Пирсона).
Правило применения критерия χ 2 сводится к следующему алгоритму:
1) рассчитывается значение χ 2;
2) выбирается уровень значимости критерия 
;
3) по таблице распределения функции Лапласа определяется χ2(k, ) если 
, то гипотеза отвергается, если 
, то гипотеза принимается.
Согласно критерию χ 2
, где 
.
Распределение χ 2 зависит от числа степеней свободы. При применении критерия Пирсона оно равно: 
- где r - число параметров предлагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот.
Критерий имеет ряд ограничений: он применим для рядов: имеющих большой объем выборки, достаточную величину частот в крайних интервалах, количество интервалов должно быть не менее пяти.
Критерий Колмогорова.
В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической и соответствующей ей теоретической функцией распределения. В качества критерия берется следующее выражение
Алгоритм критерия Колмогорова применяется следующим образом:
1. Строится статистическая функция распределения F*(х) и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x);
2. Определяется максимальная величина Dn модуля разности между этими распределениями;
3. Определяется величина 
и находится вероятность 
Функция 
табулирована, см. приложение 7. - вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F(x) и F*(x) будет не меньше, чем фактически наблюдаемое. Если эта вероятность мала, то гипотезу Н0 следует отвергнуть как неправдоподобную, при больших , ее можно считать совместной с данными. Критерий Колмогорова по сравнению с другими очень прост. Недостаток его в том, что критерий можно применять, когда функция распределена F(х) известна полностью.
Рассуждая аналогичным образом, можно получить статистики и для других задач проверки гипотез (см. таблицу 5.1).
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 304 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
