Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
После получения вариационного ряда как выборочного распределения возникает первая задача – найти на основе этого распределения общий закон распределения для данного признака. На основе всестороннего анализа имеющегося распределения и изучения рассматриваемого признака выбирают из известных распределений определенный закон распределения в качестве предполагаемого теоретического закона распределения для рассматриваемого признака в генеральной совокупности.
Рассмотрим несколько распределений, которые имеют важные статистические приложения:
· нормальное распределение,
· c2 -распределение (распределение Пирсона),
· t -распределение (распределение Стьюдента),
· F -распределение (распределение Фишера).
а) Нормальный закон распределения случайной величины. Нормальное распределение рассмотрено впервые А. Муавром в I733 г., а в I809 г. открыто независимо от исследований А. Муавра К. Гауссом. Распределение Муавра - Лапласа - Гаусса занимает ведущее место в теории и практике вероятностно-статистических исследований, в частности, в экономике, социологии, технике, медицине, биологии и пр.
Как известно, нормальным называется распределение, имеющее вид:
.
По этой формуле при различных значениях среднего арифметического () и среднеквадратичного отклонения () получается семейство нормальных кривых. Нормальное распределение симметрично относительно и имеет следующие числовые характеристики: математическое ожидание a= , дисперсия , коэффициент асимметрии Аs=0, неприведенный коэффициент эксцесса Ех = 3, приведенный коэффициент эксцесса γ = 0.
Для нормального распределения значения моды, медианы и среднего арифметического равны между собой.
При решении статистических задач во многих случаях применяется стандартное нормальное распределение (единичное, нормальное). Оно получается при условии, что и , т.е. имеет параметры (0,1). Использование стандартного нормального распределения позволяет анализировать любое нормальное распределение на основе характеристик единичного нормального распределения.
б) Распределение (распределение К. Пирсона). Пусть – независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0,1). Распределение случайной величины
называется распределением хи -квадрат с п степенями свободы, а сама величина – случайной величиной хи -квадрат с п степенями свободы.
Заметим, что количество степеней свободы п является единственным параметром хи -квадрат распределения и значения неотрицательны, т.е. .
При больших значениях п распределение случайной величины близко к нормальному распределению с параметрами . Однако при малых значениях п функция плотности случайной величины значительно отличается от кривой нормального распределения.
Рис. 3.1. Плотность распределения хи-квадрат.
Сумма независимых случайных величин также распределена по закону хи- квадрат с степенями свободы.
в) Распределение Стьюдента (t -распределение). Если случайная величина z – нормально распределена с параметрами , а величина ω имеет – распределение с к степенями свободы, то величина
распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы и называется t- распределением. Это распределение впервые в 1908 году было использовано английским математиком В.Госсетом, который подписывал свои работы псевдонимом Стьюдент (Студент).
Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля (рис. 3.2.), и значения t табулированы в зависимости от степеней свободы k и вероятности α.
Рис. 3.2. Плотность распределения Стьюдента.
При больших значениях k кривая плотности близка к кривой нормального распределения . Поэтому в практических расчетах при k>30 часто считают, что
.
г) Распределение Фишера ( -распределение). Пусть и – независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределения с п и m степенями свободы, соответственно. Распределение случайной величины
называется F -распределением или распределением Фишера с п и m степенями свободы. Так как случайные величины и то .
Дальнейшие рассуждения будут базироваться на теореме о распределении выборочных характеристик и доказанную Р.Фишером.
Теорема (о распределении выборочных характеристик).
Если генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону с параметрами и , то:
а) случайная величина распределена нормально с параметрами ;
б) случайная величина имеет распределение ;
в) случайные величины и независимы.
Пусть из генеральной совокупности Х, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , взята случайная выборка объемом n, тогда выборочные характеристики (статистики) будут представлены следующим образом:
1) - имеет нормированный нормальный закон распределения N (0,1) с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, где - выборочная средняя арифметическая, - среднее квадратическое отклонение;
2) - имеет распределение Стьюдента (t - распределение) с n-1 степенями свободы, где S - выборочное среднее квадратическое отклонение, равное ;
3) - имеет нормированное нормальное распределение N(0,1);
4) - имеет распределение Стьюдента
(t -распределение) с n-1 степенями свободы;
5) - имеет распределение (хи -квадрат) с n-1 степенями свободы;
6) В случае двух независимых выборок их нормальных генеральных совокупностей Х и Y c одинаковыми математическими ожиданиями μх=μу=μ и дисперсиями статистика
- имеет распределение Стьюдента (t - распределение) с nх + nу -2 степенями свободы, где - выборочные средние двух независимых выборок х и у из генеральных совокупностей с одинаковыми, но неизвестными параметрами a и σ, - выборочные дисперсии соответственно первой и второй выборок.
После получения распределения выборки приходим к необходимости рассмотрения двух вопросов:
1) выбрать вид теоретического распределения в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а затем найти его параметры;
2) доказать правильность сделанного выбора, проверить согласованность имеющегося эмпирического материала с предполагаемым теоретическим распределением признака в генеральной совокупности.
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 2070 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!