Структура ряда динамики. Выравнивание ряда динамики

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества факторов, различных по характеру и силе воздействия:

1) Факторов эволюционного характера, которые оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики основную тенденцию. Гладкая функция, используемая для описания основной тенденции изменения уровней ряда называется трендом.

2) Факторов осциллятивного характера, воздействие которых периодическое. Влияние факторов осциллятивного характера вызывает циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Под колебаниями понимают отклонения от тренда. Сезонные колебания – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания – периодические колебания, связанные с большими экономическими циклами, имеющие период несколько лет

Факторов нерегулярного воздействия, вызывающие нерегулярные колебания, которые делятся на: а) спорадически наступающие изменения, вызванные, например, войной, экологической катастрофой; б) случайные колебания - колебания, являющиеся результатом действия большого числа относительно слабых второстепенных факторов.

Выявление основной тенденции (тренда) называется в статистике выравниванием ряда динамики. При этом предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов на уровень ряда.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) аналитическое выравнивание - выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

К методам первой группы относятся:

· Метод укрупнения интервалов. Данный метод основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда (одновременно уменьшается количество интервалов). Для каждого образованного таким образом периода рассчитывается свой показатель уровня ряда: либо простым суммированием уровней первоначального ряда; либо их усреднением. При вычислении этих показателей отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов. Сравнивая их за различные (укрупненные) интервалы времени можно выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

· Метод скользящей средней. Суть данного метода состоит в следующем: вычисляется средний уровень из определенного числа - L первых по порядку уровней ряда (y₁,...y_L), затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго (y₂,...y_L+1), далее – начиная с третьего (y₃,...y_L+2) и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по ряду динамики с шагом, равным единице. Полученная средняя относится к середине интервала сглаживания. Поэтому технически удобнее составлять интервал из нечетного числа уровней ряда (L=3, 5, или 7).

Нахождение скользящей средней по четному числу уровней ряда несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине интервала, т.е. попадает между двумя средними датами. В этом случае прибегают к центрированию. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученной средней к определенной дате.

При использовании приема скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом на число уровней, равное (L-1), т.е. происходит потеря информации. Вместе с тем, чем продолжительнее интервал сглаживания, тем сильнее усреднение, а потому выявляемая тенденция развития получается более плавной.

ПРИМЕР. Проведем выравнивание ряда динамики методами укрупнения интервалов и скользящей средней с L=5. Исходные данные приведены в таблице:

Динамика расходов на электроэнергию компании WWP за период с 1976 по 1995 гг., млн.дол.

Год	Расходы на электроэнергию -y	Средняя за 5 лет – y’	Скользящая средняя – y’’
	33,3	43,44	-
	37,2	-
	42,5	43,44
	48,8	49,64
	55,4	57,98
	64,3	94,8	66,78
	78,9	79,94
	86,5	94,8
	114,6	107,16
	129,7	117,78
	126,1	136,22	128,1
		133,42
	138,1	136,22
	141,2	140,84
	143,7	143,66
	149,2	150,58	146,82
	146,1	147,96
	153,9	150,58
	146,9	-
	156,8	-

Линейные диаграммы исходного и выровненных уровней ряда представлены на рис..

Аналитическое выравнивание (построение уравнения тренда) - наиболее эффективный метод выравнивания, состоящий в подборе функциональной зависимости уровня ряда от времени f(t). Возможно выравнивание по прямой, по гиперболе, по параболе 2-го или 3-го порядка, показательной функции, логистической кривой и другим функциям.

Выбор вида функции (f) должен быть основан на содержательном анализе сущности развития данного явления. На практике для этих целей прибегают к графическому изображению уровней динамического ряда (линейная диаграмма), а также к графическому изображению сглаженных уровней, в которых случайные волны и колебания в некоторой степени оказываются погашенными.

Используют также и специфический для временных данных подход - метод конечных разностей, который основан на свойствах различных кривых, применяемых при выравнивании (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Разностями первого порядка называются разности текущего и предыдущего уровней ряда динамики (цепной абсолютный прирост): D¹_i=y_i-y_i= Dy^ц_i.

Разностями второго порядка называются разности между текущим и предыдущим значениями конечных разностей первого порядка (абсолютное ускорение): D²_i= D¹_i - D¹_i-1=y_i-y_i-1-(y_i-1-y_i-2)=y_i-2y_i-1+y_i-2.

Разностями j-ого порядка называются разности между текущим и предыдущим значениями конечных разностей (j-1)–ого порядка: D^j_i= D^j-1_i - D^j-1_i-1.

Если разности первого порядка приблизительно равны друг другу для всех i=1;(N-1), то общая тенденция выражается линейным уравнением =а+b·t, где – выровненный уровень. При этом параметр а трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметр b имеет смысл среднего за единичный промежуток времени абсолютного прироста.

Если приблизительно равны разности второго порядка, то общая тенденция выражается параболой второго порядка: =a+b·t+c·t². При этом параметр b выражает начальную скорость роста, а параметр c постоянную скорость изменения прироста (абсолютное ускорение).

Если постоянны разности j–ого порядка, то для описания основной тенденции используют полином j–ого порядка: .

При выборе вида функции времени можно использовать и другие показатели. Например, если примерно постоянными оказываются темпы роста (коэффициенты роста), то для выравнивания применяется показательная функция: =a·b^t. При этом параметр b имеет смысл среднего коэффициента роста.

Выбор вида функции может осуществляться и на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений, рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия.

Расчет параметров уравнения тренда.

Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу наилучшим считается такое приближение выровненных данных () к эмпирическим (y), при котором сумма квадратов их отклонений является минимальной: .

При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. То есть вводится новая условная переменная времени t^у_i, такая, что åt^у_i=0.

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения åt^у_i=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (значению t^у_i, соответствующему данному уровню присваивается ноль). Значения переменной времени t^у_i, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3...), а, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3...). Например:

ti
tуi	-3	-2	-1
yi

Если число уровней ряда четное, условные переменные времени левой половины ряда (до середины) нумеруются: –1, -3, -5..., а, правой половины: +1, +3, +5 и.т.д. При этом å t^у_i будет равна 0. Например:

ti
tуi	-5	-3	-1
yi

Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:

.

Данный подход можно использовать, если уровни ряда - равноотстоящие.

Оценивание параметров уравнение тренда для показательной функции =a·b^t осуществляется также, как и в случае линейного тренда, с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Однако прежде чем использовать МНК, нелинейную функцию преобразуют к линейному виду путем логарифмирования и замены переменных. Если взять логарифмы (неважно по какому основанию) правой и левой частей уравнения: =a·b^t, получим следующее:

ln y = ln a + t· ln b.

Теперь произведем замену переменных и параметров:

z=ln y; A=ln a; B=ln b.

В результате имеем линейное уравнение с новыми переменными и параметрами: z=A+B·t. Для оценки его параметров (A и B) можно использовать стандартные процедуры МНК. А оценки параметров исходного уравнения (a и b) определяются потенцированием оценок параметров A и B. Так в случае натурального логарифмирования a=e^A; b=e^B.

Анализ сезонных колебаний.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены следующие методы: а) метод абсолютных разностей (для аддитивной модели временного ряда); б) метод относительных разностей; в) построение индексов сезонности (для мультипликативной модели временного ряда). Эти методы предполагают, что данные приведены не менее чем за три года.

Пусть имеется сезонный ряд динамики y_ij, где i – номер сезона (i=1;I, I –число сезонов в году); j- номер года (j=1;m, m- число лет в ряде динамики):

1 год сезоны:

...

j год сезоны:

...

m год сезоны:

...

i

...

I

...

...

i

...

I

...

...

i

...

I

y11

...

yi1

...

yi1

...

y1j

...

yij

...

yij

...

y1m

...

yim

...

yim

Ряд содержит I·m уровней.

Метод абсолютных разностей предполагает определение для каждого сезона (месяца, квартала, декады) средней разности между фактическим (y_ij) и выровненным (аналитическим или эмпирическим способом) ( _ij) уровнями: Sa[i]= , где i – номер сезона (i=1;I); j – номер года; m- число лет, за которые приведены данные в динамическом ряду. Учитывают сезонность прибавлением i-ого абсолютного отклонения к выровненному уровню, относящемуся к i-ой единице времени внутри года.

Индекс сезонности может быть рассчитан разными способами.

Для рядов, в которых практически отсутствует повышающийся или понижающийся тренд, i-ый индекс сезонности может быть рассчитан как отношение среднего уровня, соответствующего i-ому сезону, к общему среднему уровню ряда динамики: Is[i]= , где i- номер сезона; I·m – число элементов в ряду динамики.

Для рядов динамики с ярко выраженной основной тенденцией, индекс сезонности для i-ого сезона определяется как среднее отношение фактического уровня к выровненному (относящихся к i-ому сезону):

Is[i]= . Учитывается сезонность умножением i-ого индекса сезонности на выровненный уровень, относящийся к i-ому сезону.

Важные замечания:

1) Если для расчета сезонной составляющей ряд динамики требуется выровнять, то чаще всего используют механическое выравнивание (например, метод скользящей средней).

2) Сезонные составляющие должны отвечать определенным требованиям:

- в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонентов должна быть равна нулю;

- в случае мультипликативной модели сумма всех сезонных компонентов должна быть равна I – числу сезонов.

Добиться этого можно корректировкой, рассчитав так называемые скорректированные значения сезонных составляющих.

В случае аддитивной модели: Sa^ск[i]= Sa[i]- , i=1;I.

В случае мультипликативной модели: Is^ск[i]= Is[i] ·

3) Построение модели временного ряда начинается с расчета сезонной составляющей и только потом рассчитывают трендовую составляющую. Это делают для того, чтобы исключить влияние сезонных колебаний при построении тренда. (Исключение влияния сезонных колебаний осуществляется путем вычитания Sa, либо деления на Is). По скорректированным таким образом данным строится уравнение тренда, т.е. проводят аналитическое выравнивание. Затем выровненные уровни опять корректируются на сезонную составляющую (прибавлением Sa, либо умножением на Is).

Для наглядного представления сезонных колебаний (сезонной волны) исчисленные показатели сезонности могут изображаться графически в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладываются номера единиц времени внутри года. По оси ординат – значение показателя сезонности. Для удобства анализа относительных показателей сезонности проводят прямую параллельную оси абсцисс, проходящую через уровень равный единице.

Статистические методы прогнозирования динамики.

Прогноз – научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. Prognosis – предвидение, предсказание).

Обычно рекомендуется, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 продолжительности временного ряда.

Если в ряду динамики пропущены данные (т.е. имеем неравноотстоящие уровни), то недостающие данные могут быть вычислены как среднее между предшествующим и последующим уровнями.

Методы прогнозирования:

1) Наивные (простейшие) методы прогнозирования:

- по среднему абсолютному приросту, если ряд содержит линейный тренд:

y^p=y_n+(n-k) ,

где n- длина исходного ряда динамики, k- период прогнозирования.

- по среднему коэффициенту роста, если ряд содержит нелинейный тренд в форме показательной функции: y^p=y_n· .

2) По уравнению тренда (с учетом колеблемости ряда).

Методика такого статистического прогноза основана на экстраполяции тренда и колеблемости (при предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода).

Экстраполяция – распространение тенденций, установленных в прошлом на будущее.

Прежде всего, вычисляется точечный прогноз ( ^р) для времени прогнозирования t^р. Если имеют место сезонные колебания, то ^р корректируется на сезонную составляющую (например, на индекс сезонности Is: ^р·Is).

Прогноз должен иметь вероятностную форму, как всякое суждение о будущем, т.е. задаваться интервальным значением: ^р ±D_yр’ где D_yр –предельная ошибка прогноза.

D_yр =t_a·m_yр, где t_a-табличное значение t-критерия Стьюдента; m_yр - средняя ошибка прогноза.

Для линейного тренда с равноотстоящими периодами времени:

m_yр = ,

где N- длина ряда динамики;

s^p- остаточное среднее квадратическое отклонение: s^p= , где t^р - номер прогнозируемой единицы времени;

– среднее значение показателя времени.

s_t²- дисперсия показателя времени в динамическом ряду.

h- число параметров уравнения тренда.

Контрольные вопросы:

1. Дайте понятие ряда динамики, его основных элементов.

2. Какие виды рядов динамики принято выделять в статистике?

3. В чем состоит проблема сопоставимости уровней ряда динамики?

4. Какие индивидуальные показатели динамики Вы знаете?

5. Как рассчитать средний уровень ряда динамики?

6. Как охарактеризовать среднее изменение уровней ряда?

7. Опишите состав компонентов модели временного ряда.

8. В чем состоит механическое выравнивание?

9. В чем состоит аналитическое выравнивание ряда динамики?

10. Какие методы статистического прогнозирования Вам известны?