Парная линейная корреляция

После того как определено принципиальное содержание корреляционной модели – комплекс показателей и форма связи, выраженные через соответствующие математические уравнения, задача сводится к определению показателей связи.

В основе отыскания показателей корреляционных уравнений лежит метод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки а₀ и а₁ получают, когда , где х₁ есть х₀.

Сумма квадратов отклонений является функцией параметров а₀ и а₁. Ее минимизация осуществляется решением системы уравнений

na₀+a₁Σx₁=Σx₀

a₀Σx₁+a₁Σx₁²=Σx₀x₁

По данным статистического наблюдения необходимо вычислить Σx_0, Σx₁, Σx₀x₁, но прежде х₀ х₁, затем х₁² и Σx₁².

Подставим их в уравнение и определим неизвестные параметры а₀ и а₁ узнав их заменим в уравнение х₀ =а₀+а₁х₁.

х₀ – значение зависимой переменной, исчисленной по уравнению связи (подстрочные знаки указывают переменные, включенные в анализ)

а₀ – начало отсчета или значение х₀ , когда х₁=0

а₁- коэффициент пропорциональности или коэффициент регрессии, он показывает, как изменяется х₀ при изменении х₁ на единицу.

Практически для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции (r) и коэффициент детерминации (r²).

Если заданны значения переменных х₀ и х₁, то он вычисляется по формуле

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от –1 до +1. Принято считать, что если /r/<0,30, то связь слабая, при /r/=(0,3÷0,7)- средняя, при /r/>0,70– сильная, или тесная. Если же r~0, то можно говорить об отсутствии линейной связи между х₀ и х₁. Если при /r/=1, то можно говорить о функциональной связи.

Множественная линейная корреляция

Определение числовых значений параметров уравнения множественной корреляции (регрессии), как и парной корреляции (регрессии), обычно производится методом наименьших квадратов, для чего строится и решается система нормальных уравнений. Для линейной множественной корреляции у₁₂…._s = а₁+а₁ х₁+ а₂ х₂ +….+а_s х_s система нормальных уравнений такова:

а₀ n + а₁ Σх₁ + а₂ Σх₂ + …..+ а_s Σх_s =Σх₀

а₀ Σх₁ + а₁ Σх₁² + а₂ Σх₁х₂ +….+ а_s Σх₁х₂ = Σх₀х₁

………………………………………………….

а₀Σх_s + а₁Σх₁х_s + а₂ Σх₂х_s + ……+ а_sΣх_s² = Σх₀х_s

Коэффициенты при х_i в уравнении множественной линейной корреляции показывают, на сколько в среднем изменяется результативный признак при увеличении соответствующего фактора на единицу и при фиксированном (постоянном) значении других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Например: при нахождении а₀, а₁ и а₂ получим к примеру уравнение в виде

х₀ = 26,02 + 4,52 х₁ + 5,74 х₂, х₀- урожайность; 4,52 х₁ – внесение удобрения; 5,74 х₂ – количество прополок. а₀ показывает регрессию х₀ на х₁ при фиксированном х₂, а а₂ – регрессию х₀ на х₂ при фиксированном х₁. Полученное уравнение регрессии показывает, что изменение внесения удобрений под основную обработку на единицу приводит к изменению урожайности на 4,5 ц при том условии, что число прополок фиксируется на определенном уровне. Повышение или понижение числа прополок приведет соответственно к росту или падению урожайности на 5,7ц при фиксированном значении х₁.

При оценке линейной множественной связи рассчитывают коэффициент множественной корреляции. По смыслу он отражает тесноту связи между вариацией зависимой переменной и вариациями всех включенных в анализ независимых переменных. Обычно с начало строится линейная множественная регрессия, а затем оценивается сам коэффициент множественной корреляции, его формула такая:

, коэффициент детерминации R² – квадрат коэффициента множественной корреляции.

σ²_ост = ,

σ²_общ = , где σ²_общ – общая дисперсия фактических данных результативного признака, σ²_ост – остаточная дисперсия характеризующая вариацию х₀ за счет факторов, не включенных в уравнение регрессии.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе R к 1, тем более сильная связь между х₀ и множеством х_n. Если R не значительна по величине (как правило, R< или = 0,3), то можно утверждать, что не все важные факторы взаимосвязаны, учтены, либо выбрана неподходящая форма уравнения.

Коэффициент множественной корреляции, так же как и коэффициент парной корреляции, можно рассчитать на основе параметров уравнения связи:

.

Задание 1. Имеются следующие данные по десяти однородным предприятиям (таблица). Найдите уравнение корреляционной связи между электровооруженностью труда и выпуском продукции на одного работающего (связь линейная). Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Определите парный коэффициент корреляции различными способами. Сделайте вывод.

Номер завода	Электровооруженность труда на одного работающего, кВт/ч (х1)	Выпуск готовой продукции на 1 работающего,.руб. (х0)	х1х0	х12	х02	Теорети-ческие значения х0
итого
В среднем

Методика расчета:

Вывод:

Задание 2. Имеются следующие данные по семи однородным семьям (таблица). Найдите уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость расходов на питание от дохода и размера семьи (связь линейная). Проанализируйте параметры уравнения множественной регрессии. Определите коэффициент множественной корреляции. Сделайте выводы.

Методика расчета:

Номер семьи	Доход на душу за месяц, тыс. руб. х1	Число членов семьи х2	Расход на питание за месяц, тыс. руб. х0	х0х1	х0х2	х0²	х1²	х1х2	х2²	Теоретические значения   х0
			1,5
	7,5
			5,5
	10,5
Итого
В среднем

Методика расчета:

Вывод: