Взаимной сопряженности

у х	I	II	III	Итого
I	…	…
II	…	…
III	…	…
Итого				n

.

Пример. Исследовать зависимость между оценкой уровня жизни респондентов Москвы и типом предприятия, на котором они работают. Данные, характеризующие опрос, приведены в таблице 8.7. (тыс. чел.):

Таблица 8.7.

Тип предприятия	Оценка уровня жизни респондентов	Итого
Вполне удовлетворен	Скорее удовлетворен	Скорее не удовлетворен	Совсем не удовлетворен
Государственное
Акционерное общество
Арендованное
Частное
Итого

Необходимо определить коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

Решение.

;

;

;

.

Вывод. Оценка уровня жизни респондентов не зависит от типа предприятия, на котором они работают.

В статистике существуют модификации коэффициента Присона, например через расчет -критерия. Коэффициент взаимной сопряженности (К _П) вычисляется по формуле

,

где - наиболее распространенный критерий согласия, используемый для проверки статистической гипотезы о виде распределения. Коэффициент Чупрова изменяется в пределах 0 < K_Ч < 1.

Пример. По данным табл. 8.7 определить зависимость между признаками.

Решение.

.

Другой модификацией коэффициента сопряженности Чупрова является

,

где К ₁ – число строк в таблице;

К ₂ – число граф в таблице;

n – число наблюдений.

Вычислим величину К для приведенного примера.

По данным табл. 8.7 получим:

.

Особое значение для оценки связи имеет биссериальный коэффициент корреляции, который дает возможность оценить связь между качественным альтернативным и количественным варьирующим признаками. Данный коэффициент вычисляется по формуле

,

где - средние в группах;

- среднее квадратическое отклонение фактических значений признака от среднего уровня;

p – доля первой группы;

q – доля второй группы;

z – табулированные (табличные) значения Z – распределения в зависимости от p.

Пример. С помощью биссериального коэффициента корреляции исследовалась связь между возрастом и социальным положением основных категорий потенциальных эмигрантов. Данные, характеризующие эту связь, приведены в таблице:

Основные категории потенциальных эмигрантов	Возраст, лет	Всего, чел.
До 30	30 - 40	40 - 50	50 и более
Руководители
Рабочие
Итого

Решение.

;

;

;

;

;

. Связь умеренная.

Непараметрические показатели связи. Ранговые коэффициенты.

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если отдельные значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена (r) и Кендалла (t). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения будут упорядочены или проранжированы по степени убывания или возрастания признака.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

,

где - квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале [-1;1]. Значимость коэффициента корреляции рангов Спирмена проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

.

Значение коэффициента корреляции считается статистически существенным, если (a; k = n – 2).

Определим зависимость между ценой спроса и ценой предложения на акции крупнейших предприятий одного из городов на 01.02.98:

Таб.8.8. Расчетная таблица для определения

коэффициента корреляции рангов

Спирмена между ценой спроса и предложения

на акции крупнейших предприятий города на 01.04.98г.

Акции № п/п	Средняя цена	Ранги	Разность рангов
спроса х	предложения у
	83636,24	60556,00	10,5		-0,5	0,25
	83636,24	40706,58	10,5		0,5	0,25
	30306,64	33800,10
	13489,50	22082,14	1,5		-2,5	6,25
	13928,30	33800,10			-4
	26508,70	33800,10
	18068,97	20902,35		1,5	2,5	6,25
	28723,04	35944,00			-1
	18991,43	21659,68	5,5		2,5	6,25
	18991,43	22469,18	5,5		0,5	0,25
	13489,50	20902,35	1,5	1,5

Для данного примера характерно наличие связных рангов. В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:

;

;

.

Зависимость цены спроса от цены предложения на акции внебиржевого рынка сильная.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (τ) может также использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле

,

где n – число наблюдений;

S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х;

3) для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;

4) для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком «минус»;

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Если в изучаемой совокупности есть связные ранги, то расчеты необходимо проводить по следующей формуле:

,

где .

Рассмотрим расчет коэффициента корреляции рангов Кендалла для случая наличия связных рангов.

;

.

;

;

. Связь сильная.

Связь между признаками можно признать статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:

,

где m – количество факторов;

n – число наблюдений;

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Пример. По данным табл. 8.4. определить зависимость между основными показателями деятельности коммерческих банков Белоруссии. В таблице, приведенной ниже, дается расчет коэффициента конкордации.

Решение.

Банк	Стоим-ть активов, млрд нац. руб.	Кредит. Вложения, млрд нац. руб.	Собствен. капитал, млрд нац. руб.				Сумма строк (рангов)	Квадраты сумм
Итого	-	-	-	-	-	-

Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе - критерия Пирсона:

.

Для нашего примера: .

Расчетное значение > (α = 0.05; v = n – 1 = 7 – 1 = 6), что подтверждает значимость коэффициента конкордации и свидетельствует о сильной связи между рассматриваемыми признаками.

В случае наличия рангов коэффициент конкордации определяется по формуле

,

где ;

Проверка значимости осуществляется по формуле:

.

Коэффициент конкордации принимает любые значения в интервале [-1;1].

Ранговые коэффициенты Спирмена, Кендалла и конкордации имеют преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными, так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.

Тема 9: Общие вопросы анализа