Собственно - корреляционные параметрические методы изучения связи. Оценка существенности корреляции

Изменение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции.

В статистической теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета данного коэффициента:

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

.

Линейный коэффициент корреляции может быть также выражен через дисперсии слагаемых:

.

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, которую можно математически выразить следующей формулой:

,

где - коэффициент регрессии в уравнении связи;

- среднее квадратическое отклонение соответствующего факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1:

- 1 < r < 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента можно представить в следующей таблице:

Таб. 8.5. Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента корреляции	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением х увеличивается у
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением х уменьшается у, и наоборот
r = 1	функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента:

Если расчетное значение t_p > t_kp (табличное), то гипотеза H₀: r_yx = 0 отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической зависимости между х и у.

Пример. По данным таблицы 8.4. оценить тесноту связи между стоимостью активов (у) и кредитными вложениями (х₁), используя различные модификации расчета линейного коэффициента корреляции. Проверить его значимость.

Решение.

;

;

; ;

;

;

. Связь прямая, сильная.

Найдем линейный коэффициент корреляции используя другую формулу:

Результаты идентичны.

Проверим значимость :

;

.

Так как , то коэффициент корреляции значим.

Теснота связи при криволинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение:

.

По данным таблицы 8.3, а также рассчитав и , можно определить эмпирическое корреляционное отношение. Для этого построим вспомогательную таблицу:

25.0	-15,5	240,25		1922,00
37.2	-3,3	10,89		98,01
42.6	2,1	4,41		61,74
51.7	11,2	125,44		752,64
55.0	14,5	210,25		630,75
Итого	-	-		3465,14

Следовательно,

Эмпирическое корреляционное отношение

. Связь сильная.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативными и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,

где - дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчитанная по уравнению множественной регрессии;

- остаточная дисперсия;

- общая дисперсия результативного признака.

В случае оценки тесноты связи между результативным (У) и двумя факторными признаками (х ₁ и х ₂) множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле

,

где r - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется на основе F- критерия Фишера:

Гипотеза H₀ о незначимости коэффициента множественной корреляции (H₀: R = 0) отвергается, если F_p > F_kp (a; v₁ = 2; v₂ = n – 3).

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 < R < 1.

Пример. По данным табл. 8.4. рассчитать коэффициент множественной корреляции и проверить его значимость.

Решение.

,

где - парные коэффициенты корреляции между признаками

=0,78; =0,95; .

=0,95.

Связь сильная, факторы х ₁ и х ₂ практически полностью обуславливают величину у.

Проверим значимость коэффициента множественной корреляции.

Гипотеза о незначимости коэффициента корреляции отвергается, так как F_kp=6.94 (a=0.05; v₁=2, v₂=n – 3 =4).

F_p=18.51 > F_kp = 6.94.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксированном значении других факторных признаков, т.е. когда влияние х₃ исключается (в этом случае оценивается связь между х₁ и х₂ в «чистом виде»).

В случае зависимости у от двух факторных признаков х₁ и х₂ коэффициент частной корреляции принимает вид:

;

,

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х ₂, во втором – х ₁.

Пример. По данным таблицы 8.4. рассчитать частные коэффициенты корреляции и проверить их значимость.

Решение.

; ; .

;

.

Методы изучения связи социальных явлений.

Важной задачей статистики является разработка методики статистической оценки социальных явлений, которая осложняется тем, что многие социальные явления не имеют количественной оценки. Количественная оценка связей социальных явлений осуществляется на основе расчета и анализа целого ряда коэффициентов.

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, хороший, плохой).

Таб.8.6. Таблица для вычисления коэффициентов

ассоциации и контингенции

a	b	a + b
c	d	c + d
a + c	b + d	a + b + c + d

Коэффициенты вычисляются по формулам:

ассоциации: ;

контингенции: .

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если К_а > 0.5 или К_k > 0.3.

Пример. Исследовалась социально-демографическая характеристика случайных потребителей наркотиков в зависимости от их семейного положения в одном из регионов РФ (тыс. чел.). Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы потребителей наркотиков	Семейное положение	Всего
замужем (женат)	не замужем (не женат)
Потреблял	10,0	14,5	24,5
Не потреблял	2,5	4,5	7,0
итого	12,5	19,0	31,5

Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции.

Решение.

;

Вывод. Так как К _а < 0.5 и К _k < 0.3, то потребление наркотиков случайными потребителями не зависит от их семейного положения.

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, которые вычисляются по следующим формулам:

,

где j² – показатель взаимной сопряженности;

j² – определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:

,

где К₁ – число значений (групп) первого признака;

К₂ – число значений (групп) второго признака.

Чем ближе величины К_П и К_Ч к 1, тем связь теснее.

Рассмотрим вспомогательную таблицу для расчета коэффициента взаимной сопряженности:

Вспомогательная таблица