Линейная парная регрессия

После того, как с помощью корреляционного анализа выявлено наличие статистических связей между переменными и оценена степень тесноты, обычно переходят к математическому описанию вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. Если коэффициент корреляции , то согласно шкале Шеддока связи между переменными нет, а следовательно не имеет смысла описывать модель связи.

Регрессионная модель представляет собой математическое выражение, связывающее случайные величины . Уравнение регрессии – это зависимость величины от .

Часто встречающейся моделью зависимости является линейная парная корреляция. Вообще говоря, уравнение регрессии может описывать взаимосвязь не двух, а более переменных (то есть быть не парной, а множественной). Кроме того, связь между переменными далеко не всегда линейна.

В общем случае уравнение регрессии имеет вид:

,

где параметры модели, ошибка наблюдений.

Уравнение парной линейной регрессии выглядит следующим образом:

,

где и - параметры уравнения линейной регрессии.

Для нахождения параметром применяют метод наименьших квадратов, согласно которому неизвестные и выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических средних значений от значений, найденных по уравнению регрессии была минимальной:

.

Получим систему нормальных уравнений для нахождения искомых параметров:

Разделив обе части уравнений на , получим систему нормальных уравнений в виде:

Решая систему уравнений, найдем:

зная, что и формулу для вычисления коэффициента корреляции можем записать:

Коэффициент называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при изменении на одну единицу.

Замечание. Знак коэффициента регрессии указывает на направление связи: если , связь прямая, если - обратная. Очевидно, что знаки коэффициентов корреляции и регрессии должны совпадать.

Решая систему относительно параметра , получим:

.

Для установления влияния на зависимую переменную независимой переменной, то есть для интерпретации модели используется коэффициент эластичности:

.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится при изменении на 1 %.

Пример 16. В условиях предыдущей задачи найти уравнение линейной регрессии, выражающее зависимость между заработной платой рабочих и числом уволившихся.

Решение.

1. Для определения параметров и линии регрессии составим систему нормальных уравнений:

2. Подставляя найденные в предыдущей задаче средние значения , , , получим:

3. Решая эту систему, найдем ; 98,85. Тогда уравнение регрессии:

.

Отрицательный коэффициент регрессии подтверждает то, что связь между заработной платой рабочих и текучестью кадров обратная. Вычислим коэффициент эластичности:

.

Полученный коэффициент свидетельствует о том, что при увеличении заработной платы на 1%, число увольняющихся в среднем сократиться на 2,3%.

Указания к выполнению контрольной работы

Цель контрольной работы – углубление и закрепление студентами знаний, полученных в процессе изучения настоящего курса, подготовка их к успешной сдаче экзамена.

Контрольная работа оформляется на одной стороне стандартного листа бумаги формата А4 с использованием любых средств печати либо рукописно (в этом случае выполнение допускается только крупным и разборчивым почерком). Работа представляется не менее чем за 5 дней до сдачи экзамена.

Вариант работы выбирается согласно общему списку группы, помещенному в журнале:

№ в списке группы

№ варианта

Если фамилия значится в списке группы под номером 11, то следует выполнять вариант 1; 23 – вариант 3; 24 - вариант 4 и т.д., то есть номер варианта соответствует последней цифре порядкового номера.

Контрольная работа состоит из двух задач, связанных с математическими расчетами, построением таблиц и вычерчиванием графиков. Решение задач должно быть представлено подробно (поэтапно) с указанием формулировки условия, соответствующих формул и вычислений. Таблицы и графики следует изображать с соблюдением общих правил оформления табличного и графического материала.

Варианты заданий для контрольной работы

Задание 1. По имеющимся данным требуется:

1. Построить статистический ряд распределения. изобразить получившийся ряд графически с помощью полигона или гистограммы. Найти функцию распределения, построить ее график.

2. Найти: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборки, моду и медиану.

3. Проверить при уровне значимости гипотезу о соответствии имеющего статистического распределения нормальному закону.

4. Считая данные нормально распределенной случайной величиной найти:

а) точечную оценку математического ожидания изучаемой совокупности;

б) доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0,95.

Вариант 1. Имеются данные о численности работающих в фирмах отрасли, человек:

Вариант 2. Имеются следующие данные о количестве произведенной продукции по предприятиям отрасли, тыс.руб.:

Вариант 3. Имеются данные о стаже работы сотрудников предприятия, лет.

Вариант 4. Имеются данные о средненедельном объеме продаж торговых точек фирмы в тыс.руб.

104,9	57,1	43,0	62,9	62,1	125,9	61,5	100,3	75,8	96,1
76,9	100,4	149,2	45,6	84,2	65,3	76,0	39,3	33,3	46,2
76,1	22,1	96,4	63,1	86,4	79,8	2,1	58,6	103,6	72,8
26,2	91,7	84,1	94,2	83,0	79,0	98,1	79,3	117,9	17,6
147,2	113,4	52,4	75,8	124,5	26,9	115,6	84,7	124,9	57,6

Вариант 5. Имеются данные о располагаемом денежном доходе на душу населения в руб. в 2006 г.

Вариант 6. По данным обследования автомобилей некоторой марки имеются данные о расходе бензина в литрах на 100 км:

7,9	7,6	7,3	7,0	5,7	7,1	8,0	6,6	7,4	7,3
7,5	6,5	7,0	6,9	7,2	7,3	7,0	6,3	5,9	7,0
6,8	7,5	6,6	7,7	7,1	5,7	7,0	6,9	8,1	6,6
6,8	8,2	6,9	6,8	7,2	6,4	6,9	6,7	6,5	7,1
7,1	7,3	6,4	6,1	6,7	7,3	6,9	6,8	7,6	7,0

Вариант 7. По данным статистического наблюдения имеются данные о количестве пользователей, посетивших сайт одной из торговых компаний, чел. в час:

Вариант 8. Имеются данные о прибыли коммерческих банков региона, млн. руб.:

7,9	13,7	36,8	5,3	38,1	25,6	12,5	23,9	19,1	7,3
25,1	15,4	2,0	22,1	40,3	18,0	37,5	34,0	9,7	20,3
23,5	13,4	26,7	0,2	28,5	0,1	37,6	27,2	34,4	13,6
27,6	33,5	49,3	45,2	16,8	25,3	35,4	25,3	31,7	5,1

Вариант 9. Имеются данные за несколько лет об урожайности пшеницы в некоторой области, ц/га:

33,4	27,0	31,2	23,2	19,1	24,4	36,6	26,6	30,6
35,5	19,5	31,1	23,2	31,4	28,1	28,3	23,3	27,9
33,9	20,3	30,9	32,7	31,7	24,2	31,2	31,5	19,9
26,9	33,9	32,3	42,1	34,5	32,0	28,7	21,6	38,8
29,1	37,5	23,6	25,9	23,2	28,4	20,0	37,8	21,5

Вариант 10. Получены следующие данные о технике чтения первоклассников в марте, слов в минуту:

Задание 2. По приведенным ниже данным требуется:

1. Оценить степень зависимости между переменными;

2. Найти уравнение линейной регрессии;

3. Интерпретировать полученную модель, сделать выводы.

Вариант 1. По годовым отчетам промышленных предприятий получена следующая информация:

Среднесписочное число работников, чел.	Объем продукции, млн.руб.		Среднесписочное число работников, чел.	Объем продукции, млн.руб.

Вариант 2. По группе грузовых автотранспортных предприятий города имеется следующая информация за отчетный год:

Грузооборот, млн.ткм	Сумма затрат на перевозки, тыс. руб.		Грузооборот, млн.ткм	Сумма затрат на перевозки, тыс. руб.

Вариант 3. Рабочие фирмы по производству пластиковых окон характеризуются следующими показателями:

Стаж работы, лет	Месячная зарплата, тыс. руб.		Стаж работы, лет	Месячная зарплата, тыс. руб.		Стаж работы, лет	Месячная зарплата, тыс. руб.
	1,40			1,60			2,50
	1,50			1,75			3,00
	2,20			1,55			1,50
	1,85			1,50			2,65
	1,50			2,80			2,80
	2,40			2,80			2,90
	1,80			1,80			1,50
	1,50			1,70			1,25
	1,85			3,00			1,65

Вариант 4. Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год:

Объем продукции, млн. руб.	Прибыль, тыс. руб.		Объем продукции, млн. руб.	Прибыль, тыс. руб.
197,7	13,5		204,7	30,6
592,0	136,2		466,8	111,8
465,5	97,6		292,2	49,6
296,2	44,4		423,1	105,8
584,1	146,0		192,6	30,7
480,0	110,4		360,5	64,8
578,5	138,7		208,3	33,3

Вариант 5. По сотовым телефонам некоторой марки имеются следующие данные:

Вес, гр.	Цена, усл.ед.		Вес, гр.	Цена, усл.ед.

Вариант 6. Имеются следующие данные по промышленным заводам региона:

Основные производственные фонды, млн.руб.	Среднесписочное число работниковчел.		Основные производственные фонды, млн.руб.	Среднесписочное число работников чел.		Основные производственные фонды, млн.руб.	Среднесписочное число работниковчел.
13,3			56,6			18,0
21,1			63,0			22,0
28,0			31,0			10,0
38,0			28,0			16,0
55,0			78,0			10,0
18,0			42,0			21,0
19,0			14,0			17,0
43,0			15,0			15,0

Вариант 7. Имеются следующие данные по предприятиям отрасли:

Основные производствен-ные фонды, млн.руб.	Прибыль предприя-тия, тыс.руб.		Основные производственные фонды, млн.руб.	Прибыль предприя-тия, тыс.руб.		Основные производственные фонды, млн.руб.	Прибыль предприя-тия, тыс.руб.
31,1			23,0			62,0
42,0			26,0			39,0
28,0			38,5			29,0
55,0			78,0			60,0
61,2			42,0			41,8
65,0			44,0			27,0
23,0			57,0			88,0
27,9			32,2			58,5
42,7			30,0			70,0
30,5			30,6			45,0
24,9			36,7			60,8
41,7			51,4			48,7
44,0			58,3			43,6

Вариант 8. Рабочие фирмы по производству металлических дверей характеризуются следующими показателями:

Стаж работы, лет	Выработка шт./чел.		Стаж работы, лет	Выработка, шт./чел.		Стаж работы, лет	Выработка, шт./чел.

Вариант 9. Имеются основные показатели деятельности коммерческих банков региона, млн. руб.:

Кредитные вложения, млн.руб.	Прибыль, млн. руб.		Кредитные вложения, млн.руб.	Прибыль, млн. руб.		Кредитные вложения, млн.руб.	Прибыль, млн. руб.
50,2	25,1		136,4	3,9		180,0	2,0
0,5	0,1		150,8	0,4		198,1	2,4
89,8	2,0		135,4	13,4		215,0	49,3
88,3	5,3		99,9	17,2		211,0	2,2
21,0	22,1		111,3	5,6		250,5	6,6
59,1	0,2		167,1	12,3		199,7	16,8
0,1	0,9		98,3	1,1		256,7	19,1
156,0	5,9		171,0	4,8		366,8	9,7
145,5	0,1		148,3	3,6		298,5	34,4
93,3	0,1		117,3	13,6		302,5	5,1

Вариант 10. Имеются следующие данные о работниках предприятия: