Статистическая гипотеза. Статистический критерий

Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимается всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы) и гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы).

Одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевой) и обозначают , а другую, являющуюся логическим отрицанием , т.е. противоположную - в качестве конкурирующей (или альтернативной) гипотезы и обозначают .

Гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней речь идет об одном значении параметра), в противном случае – сложной.

Например, гипотеза , состоящая в том, что математическое ожидание случайной величины равно , то есть , является простой. В качестве альтернативной гипотезы можно рассматривать одну из следующих гипотез: (сложная гипотеза), (сложная), (сложная) или (простая гипотеза).

Имея две гипотезы и , надо на основе выборки , ,…, принять либо основную гипотезу , либо конкурирующую .

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу (соответственно отклонить или принять гипотезу ), называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы .

Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки , ,…, , из которых формируют функцию выборки , ,…, , называемой статистикой критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область , то есть область отклонения гипотезы и область принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (то есть значение критерия, вычисленное по выборке: , ,…, ) попадает в критическую область , то основная гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза ; если же попадает в , то принимается , а отклоняется.

При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, то есть могут быть допущены ошибки двух родов:

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза , когда на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза , когда она на самом деле верна.

Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таблица:

Гипотеза	Отвергается	Принимается
верна неверна	ошибка 1-го рода правильное решение	правильное решение ошибка 2-го рода

Вероятность ошибки первого рода (обозначается через ) называется уровнем значимости критерия.

Очевидно, . Чем меньше , тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку первого рода обычно задают заранее.

В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше 0,05 ( означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т.п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появиться с вероятностью, равной 0,001.

Обычно для используются стандартные значения: ; ; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через , то есть . Величину , то есть вероятность недопущения ошибки второго рода (отвергнуть неверную гипотезу , принять верную ) называется мощностью критерия.

Очевидно, , ,…, .

Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение ).

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать , в других - . Так, применительно к производству, к торговле, можно сказать, что риск поставщика (то есть забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), риск потребителя (то есть прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющих стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода – к осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

Методика проверки гипотез сводится к следующему:

1. Располагая выборкой , формируют нулевую гипотезу и альтернативную .

2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия , обычно из нижеперечисленных: нормальное распределение, распределение хи-квадрат Пирсона, распределение Стьюдента.

3. По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область (и ). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку , то есть границу, отделяющую от .

Границы областей определяются соответственно из соотношений:

для правосторонней критической области (рис. 5);

Рис. 5.Правосторонняя критическая область

для левосторонней критической области (рис. 6);

Рис. 6. Левосторонняя критическая область

для двусторонней критической области (рис. 7)

Рис. 7. Двусторонняя критическая область

Для каждого конкретного случая имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям.

4. Для полученной реализации выборки подсчитывают значение критерия, то есть .

5. Если (например, для правосторонней области ), то нулевую гипотезу отвергают; если же (), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу .