Метод моментов. При заданном виде закона распределения случайной величины Х неизвестные параметры этого распределения можно оценить

При заданном виде закона распределения случайной величины Х неизвестные параметры этого распределения можно оценить, то есть выразить как функцию вариант выборки.

Одним из методов нахождения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения является так называемый метод моментов.

Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие теоретические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распределении для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если имеются два параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять соответственно два теоретических и эмпирических момента и т.д.

Для оценки двух параметров закона распределения запишем следующие равенства:

, = ,

где - начальный момент первого порядка закона распределения случайной величины;

- эмпирический момент первого порядка;

- центральный момент второго порядка закона распределения случайной величины;

- центральный эмпирический момент второго порядка.

Так как - математическое ожидание случайной величины , - дисперсия случайной величины , , , то получаем два уравнения:

, .

Пример 10. Имеются данные за шесть месяцев об остатках вкладов населения на счетах некоторого коммерческого банка (млн. руб.):

Месяц
Остатки вкладов

Остатки вклада на первое число каждого месяца являются случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения

().

Найти оценку параметра .

Решение.

Так как закон распределения содержит лишь один параметр , то для его оценки требуется составить одно уравнение.

Находим выборочную среднюю:

.

Определяем математическое ожидание:

.

Интегрируя по частям, получаем:

.

Тогда

,

Откуда

.

Последнее равенство является приближенным, так правая часть его является случайной величиной. Таким образом, из полученного уравнения получается не точное значение , а его оценка :

.