Показатели вариации. При изучении совокупности явлений нельзя ограничиться только нахождением средней величины

При изучении совокупности явлений нельзя ограничиться только нахождением средней величины.

Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, показывают типичное для изучаемой совокупности. Однако в средней величине не проявляется степень колеблемости отдельных значений признака (вариант) вокруг среднего уровня. В зависимости от однородности в совокупности колеблемость признаков может быть большой или, наоборот, малой. Поэтому возникает необходимость в измерении вариации отдельных вариантов по отношению к средней величине.

Для большей убедительности приведем два ряда набора чисел:

I ряд – 6,10,14,26,34;

II ряд – 14,16,18,20,22.

Определим среднюю арифметическую :

Для I ряда 90/5 = 18 единиц;

Для II ряда 90/5 = 18 единиц.

Таким образом, два совершенно различных ряда имеют одну и ту же среднюю . Отсюда следует, что эти средние не характеризуют внутреннего содержания совокупности, так как наглядно видно, что в первом ряду колеблемость признака больше, чем во втором.

Рассмотрим прежде размах вариации.

Размах колебаний R-это разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

R = x _max – x _min

Для предыдущего примера размах вариации составит:

R_I (I ряда) = 34-6 = 28 единиц

R_II (II ряда) = 22-14 = 8 единиц.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что первый ряд распределения имеет значительно большую колеблемость вариант, чем второй ряд распределения.

Однако ограничиться определением размаха вариации будет неверно, потому что этот показатель дает только общее, внешнее представление о колеблемости, о пределах вариации, но не характеризует степень колебаний данного признака в этих пределах.

Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает размера отклонений всех вариант. По показателям отклонений оценивается надежность вычисленной средней величины, т.е. выявляется, можно ли пользоваться рассчитанной средней величиной.

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Одним из таких показателей является – среднее квадратическое отклонение ()

Среднее квадратическое отклонение бывает простое и взвешенное.

- простое квадратическое отклонение;

- взвешенное квадратическое отклонение.

Рассмотрим порядок вычисления взвешенного среднего квадратического отклонения:

1) Вычисляют среднюю арифметическую взвешенную величину ряда ;

2) Определяют отклонения отдельных вариантов от средней ;

3) Полученные отклонения возводят в квадрат ;

4) Находят произведения полученных квадратов на частоты и суммируют результаты;

5) Сумму квадратов отклонений делят на все число членов ряда: . Таким образом, получается дисперсия или средний квадрат отклонений:

6) Извлекают квадратный корень из величины, выражающей дисперсию, и получают среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Пример. Произведем вычисление простого и взвешенного среднего квадратического отклонения по данным таблицы 24.

Таблица 24 Распределение кип шерсти по весу

№	Вес одной кипы х кг	Кол-во отгруженых кип f, шт.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Итого

Рассчитаем простое среднее квадратическое отклонение:

1) определяем средний вес одной кипы, для чего используем формулу средней арифметической простой:

кг;

Для определения среднего веса одной кипы в программе Excel можно воспользоваться статистической функцией СРЗНАЧ. Для этого выделяем ячейку, в которую хотим поместить среднее значение веса одной кипы шерсти и выполняем команду Вставка → Функция. В появившемся окне Мастер функций (рис 18), выбираем категорию Статистические и функцию СРЗНАЧ.

Рисунок 18 Мастер функций Рисунок 19 Аргументы функции СРЗНАЧ

После нажатия клавиши ОК, появляется окно Аргументы функции СРЗНАЧ (рис.19).

Устанавливаем курсор в поле Число 1, выделяем мышью диапазон ячеек, содержащих значения весов кип шерсти и нажимаем ОК. После этого в выделенной ячейке появляется число 96 – величина среднего значения веса одной кипы шерсти (рис.20)

Рисунок 20

2) Для расчета квадратического отклонения построим расчетную таблицу 25

Таблица 25 Расчет простого квадратического оклонения

№	Вес одной кипы х кг	Кол-во отгруженых кип f, шт.	отклонения от средней	квадраты отклонений
1.			-10
2.			-6
3.			-2
4.
5.
6.
Итого

При построении таблицы 25 в программе Excel используем формулу для подсчета отклонения от средней. Ввод любой формулы в ячейку начинается со знака =, затем указываются ячейки, над которыми необходимо произвести определенные действия. Так выделив ячейку D2, вводим в нее знак =, затем выделяем мышью ячейку В2, затем ставим знак – и кликаем на ячейке В10, в которой находится среднее значение веса одной кипы шерсти. Поскольку от каждого значения веса кипы шерсти нам придется отнимать одно и то же среднее значение, нажимаем клавишу F4, чтобы сделать адрес ячейки В10 абсолютным (неизменным), и нажимаем клавишу Enter (рис.18).

Рисунок 21 Ввод формулы в ячейку

Теперь достаточно распределить формулу на весь диапазон ячеек D3 – D7, для чего необходимо потянуть за черный крестик +, появляющийся при подведении мыши к правому нижнему углу ячейки D2. После этого все отклонения будут вычислены (рис. 22)

Рисунок 22 Вычисление отклонений от средней

Для вычисления квадратов отклонений воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ. Для этого в ячейку Е2 введем из категории Математические функцию СТЕПЕНЬ. В качестве аргументов этой функции в поле Число введем ячейку D2, кликнув на нее мышью, а в поле Степень введем число 2 (рис.23)

Рисунок 23 Аргументы функции СТЕПЕНЬ Рисунок 24 Квадраты отклонений

Распространив эту функцию на диапазон ячеек Е3 – Е7, мы получим квадраты отклонений (рис.24).

Итоговую сумму квадратов отклонений подсчитаем при помощи функции СУММ в ячейке Е8. Для этого достаточно, выделив ячейку Е8, щелкнуть кнопку S на панели инструментов Стандартная, программа предлагает сразу диапазон ячеек, содержимое ячеек которых требуется сложить (рис.25).

Рисунок 25 Вычисление суммы квадратов отклонений

Простое среднее квадратическое отклонение определяем по формуле

где n = 6 (объем совокупности, числа партий кип).

Для его вычисления в программе Excel, используем функцию КОРЕНЬ из категории Математические (рис.26).

Рисунок 26 Вычисление простого квадратического отклонения

О чем говорит рассчитанное квадратическое отклонение?

Вес отдельных кип шерсти отклоняется от среднего веса (96кг.) в одних случаях на большую величину, в других – на меньшую. В среднем это отклонение от средней составляет кг.

3) Из того же примера рассчитаем среднее квадратическое отклонение (взвешенное) для характеристики ряда распределения с неравными частотами. Для этого примем во внимание количество отгруженных кип, которые и будут составлять частоты f.

Расчет производим по формуле

Построим расчетную таблицу 26:

Таблица 26 Расчет среднего квадратического отклонения взвешенного

№	Вес одной кипы х кг	Кол-во отгруженых кип f, шт.	Общий вес отгруженной шерсти f*x	отклонения от средней взвеш.	квадраты отклонений	произведение квадратов отклонений на веса
1.				-10,3	106,09	1060,9
2.				-6,3	39,69	793,8
3.				-2,3	5,29	52,9
4.				-0,3	0,09	2,7
5.				3,7	13,69	205,4
6.				13,7	187,69	2815,4
Итого					352,54	4931,0

Среднее арифметическое взвешенное находим как частное от суммы произведений f*x на сумму f, то есть

Рассчитываем среднее квадратическое отклонение (взвешенное): кг

Следовательно, вес кипы шерсти колеблется в пределах кг.

Вычисления в программе Excel показаны на рис.27:

Рисунок 27 Вычисление ср.квадратического взвешенного в программе Excel