Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

Остановимся на степенных средних.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, и средняя квадратическая.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Введем следующие понятия и обозначения: признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком, и обозначается ; величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным его значением, или вариантой, и обозначается как , , ,..., ; частота— это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой .

Средняя арифметическая — наиболее распространенный вид средней. Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

1. Предположим, что требуется вычислить средний стаж десяти работников торгового предприятия, если известен стаж каждого из них: 6; 5; 4; 3; 2; 1; 7; 1,5; 2,5; 8; т. е. дан ряд одиночных значений признака, тогда рассчитывается так:

т. е. средняя арифметическая простая находится делением количества сводного признака на число показаний:

Часто приходится рассчитывать среднее значение признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз, например:

Продолжительность стажа работы (варианты) xi	Число работников торгового предприятия (частоты) fi
Итого

Подсчитав число случаев повторения каждого из них, мы получим следующий вариационный ряд (табл. 14).

Таблица 14 Ряд распределения работающих на торговом предприятии по стажу работы

Продолжительность стажа работы (варианты) xi	Число работников торгового предприятия (частоты) fi	xi*fi
Итого

Тогда средняя арифметическая называется взвешенной и рассчитывается по следующей формуле:

или

Продолжительность стажа работы (варианты) xi	Число работников торгового предприятия (частоты) fi	Отработано человеко-лет xifi	Доля работников к общей численности работников, % (частности) wi	xiwi
Итого

Следовательно, для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

Частоты отдельных вариантов могут быть выражены не только абсолютными величинами, но, и относительными величинами—частностями (w_i):

Продолжительность стажа работы (варианты) xi	Доля работников к общей численности, % (частности) wi	xi*wi
	20,0	60,0
	40,0	160,0
	30,0	150,0
	10,0	60,0
Итого	100,0	430,0

Заменив в этом примере абсолютные значения частот соответствующими относительными величинами, получим тот же результат

Часто вычисление средних величин приходится производить и по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от—до), например в табл. 15.

Таблица 15 Распределение предприятий региона по объему товарооборота

Группы предприятий по объему товарооборота. млн. руб. x	Число предприятий f
До 400
400–500
500-600
600-700
Свыше 700
Итого

Для вычисления средней величины надо в каждом варианте определить серединное значение , после чего произвести взвешивание обычным порядком . В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ (см. табл. 16).

Таблица 16 Вычисление средней арифметической для интервального ряда

Группы предприятие по объему товарооборота. млн. руб. x	Число предприятий f	Середина интервала
До 400
400–500
500-600
600-700
Свыше 700
Итого

Если крайние границы начального и конечного интервалов неизвестны, то предполагается, что расстояние между границами этих интервалов такое же, как и в соседнем интервале. Поэтому начальный интервал принимают равным 300 – 400, а конечный – 700 – 800, соответственно их середины – 350 и 750.

Объем товарооборота в среднем на одно предприятие составит:

млн. руб.

Необходимо отметить, что изложенный прием исчисления средней является вынужденным в случае, когда нет прямых данных о конкретной величине отдельных вариантов. Этот прием основан на предположении, что отдельные конкретные варианты равномерно распределены внутри интервала.

При этом исчисленная средняя не является точной величиной, так как в результате умножения средних значений групп на их численность мы не получим действительного значения. Сходство полученной средней со средней взвешенной лишь в исчислении. Здесь взяты не индивидуальные значения вариант, а условные средние каждой группы. Их взвешивание имеет чисто формальный характер.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая—это величина, обратная средней арифметической. Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной.

Так, например, расчет средней цены выражается отношением

Величина суммы реализации, т. е. показателя, который находится в числителе исходного отношения, известна. Для определения неизвестной величины — количества реализованных единиц — нужно отдельно по каждому виду товара разделить сумму реализации на цену (табл. 17).

Таблица 17 Распределение товаров по ценам

Город	Цена, руб. xi	Сумма реализации, тыс. руб.	Количество реализованных единиц, частоты,
A
Б
В
Итого

, то есть

При определении средней цены, используя простую среднюю арифметическую, получим среднюю, которая не отражает объема реализации, т.е. нереальна.

Как видно, средняя гармоническая является превращенной формой средней арифметической. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака.

В том случае, если объемы явлений, т. е. произведения, по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая простая.

Пример. Две автомашины прошли один и тот же путь 120 км: одна со скоростью 60 км/ч, а вторая — 80 км/ч, тогда средняя скорость составит:

или

где

——сумма обратных значений вариант; n — число вариант.

Средняя геометрическая — это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста и вычисляется по формулам:

средняя геометрическая простая:

и средняя геометрическая взвешенная: .

Средняя квадратическая.

Все формулы для вычисления степенных средних можно свести в следующую таблицу:

Таблица 18 Виды степенных средних

Вид степенной средней	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая

Взвешенная средняя учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности. Поэтому она должна употребляться во всех тех случаях, когда варианты имеют различную численность. Употребление простой средней в этих случаях недопустимо, так как это неизбежно приводит к искажению статистических показателей. Сам по себе вопрос о весах, которые должны быть приняты при исчислении средней, как это видно из приведенных примеров, определяется исходной информацией.