Численное моделирование обтекания тела произвольной формы

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение обтекания профиля произвольной формы потоком газа. Методом исследования является численное моделирование в двумерной постановке.

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

В основу математической модели газодинамических процессов положим уравнения движения вязкого теплопроводного гомогенного газа. В общем случае для такой среды в систему уравнений движения входят сле­дующие величины: вектор скорости потока в данной точке; местные термодинамическое давление и температура; удельная внутренняя энергия смеси; плот­ность среды; массовые концентрации компонент, определяющие состав среды; поток энергии, связанный с тепловым движением частиц; объемный удельный поток энергии (внутреннее выделение или поглощение энергии, излучение) и некоторые другие величины, связанные с вышеперечисленными параметрами.

Введем следующие общие допущения.

· Газ представляет изотропную среду со свойствами ньютоновской жидкости. Для напряжений вязкости используем следующее реологическое уравнение:

, (1)

где s – тензор напряжений, вызванных силами вязкости, - тензор скоростей деформаций, e – единичный тензор, m - коэффициент внутреннего трения (динамический коэффициент молекулярной вязкости) движущейся среды, m' - коэффициент объемной вязкости (второй коэффициент вязкости). Учитывая существенное влияние второй вязкости лишь в быстропротекающих процессах, таких как взрыв, прохождение газа через скачок, а также отсутствие надежных данных для определения второй вязкости газовых смесей, для расчета напряжений s будем учитывать лишь первую вязкость.

· Коэффициент молекулярной вязкости является функцией абсолютной температуры. Для вычисления воспользуемся интерполяционной формулой Сатерленда, дающей хорошую аппроксимацию данных:

, (2)

где T_S – постоянная Сатерленда, T₀, m₀ – абсолютная температура и коэффициент динамической вязкости при заданной температуре T₀.

· Удельные теплоемкости с_p и с_v, а следовательно и их отношение k = с_p/с_v не зависят от абсолютной температуры газа и являются физическими константами.

· Фазовые переходы отсутствуют.

Рассмотренные допущения и принятые гипотезы позволяют представить математическую модель движения сжимаемой вязкой среды. Опыт использования данной модели показывает удовлетворительное согласование результатов теоретических и экспериментальных исследований. система уравнений имеет вид:

- уравнение неразрывности

(3)

- уравнение количества движения

(4)

- уравнение энергии

(5)

– уравнение состояния для идеального газа:

, (6)

где V_O - объем области; t – время, - удельная полная энергия смеси, - удельная внутренняя энергия, c_v – удельная теплоемкость; R — газовая постоянная, - вектор скорости газового потока в данной точке; P и Т - местные термодинамическое давление и температура; x_m - пространственные координаты; r - плотность газа; s – тензор напряжений вязкости; – вектор плотности внешних массовых сил.

Для замыкания системы необходимо определить модель турбулентности и краевые условия задачи.

Задание начальных условий необходимо для решения задач о нестационарных течениях и предполагает определения термодинамических параметров и скоростей потока во всех внутренних точках области течения. При решении стационарных задач газодинамики начальные условия целесообразно задавать таким образом, чтобы ускорить достижение установившегося состояния.

Задание граничных условий в общем случае является сложной задачей, так как необходимо учитывать особенности физической модели течения, выбранной разностной схемы расчета и согласования граничных условий с областью влияния. Пространственные физические границы расчетной области течения рассматриваемых конструкций подразделяются на следующие типы: непроницаемая стенка, открытые границы и ось симметрии.

Для непроницаемых границ задаются условия прилипания, т.е. равенство нулю (или скорости стенки, при ее движении) нормальной и касательной составляющих вектора скорости потока .

Через открытые границы происходит конвективный перенос массы газа и соответствующие этой массе переносы импульса и энергии, поэтому на таких границах постановка граничных условий заключается в определении соответствующих параметров газа. При этом необходимо учитывать направление потоков газа через границы.

На оси симметрии граничные условия имеют вид:

где n - внутренняя нормаль к оси, X=(W,P,T).

Многомерность и сильная нелинейность рассматриваемых явлений таковы, что численные подходы представляют практически единственную возможность для их достаточно полного теоретического исследования.

Существует ряд универсальных численных методик, которые применяются для решения нелинейных дифференциальных уравнений газодинамики.

В последние годы ряд численных экспериментов по исследованию сложных газодинамических течений был проведен с помощью нестационарного метода крупных частиц. В данных лабораторных работах будем использовать данный метод для расчета аэрогазодинамических процессов.

Расчет каждого временного шага в данном методе разбивается на три этапа:

1 - эйлеров этап, когда пренебрегают всеми эффектами, связанными с перемещением элементарной ячейки (потока массы через границы ячеек нет), и учитывают эффекты ускорения частицы лишь за счет поверхностных сил (давление, напряжения). На этом этапе имеются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а газ предполагается заторможенной. Поэтому конвективные члены вида div(jrW), где j = (1,u,v,E), соответствующие эффектам перемещения, отсутствуют. Здесь для крупной частицы определяются промежуточные значения искомых параметров потока

2 - лагранжев этап, где при движении газа вычисляются потоки массы через границы эйлеровых ячеек;

3 - заключительный этап - определяются в новый момент времени окончательные значения газодинамических параметров потока
y(u,v,E,r) на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки и всей системы в целом на фиксированной расчетной сетке.

Данный метод хорошо себя зарекомендовал при исследовании газодинамических течений. Он позволяет получить плоские, осесимметричные и пространственные картины течений в каналах различной формы в широком диапазоне скоростей движения. Не менее важным положительным свойством этого метода является обеспечение приемлемого компромисса между требованиями высокой точности с одной стороны и допустимыми требованиями к уровню необходимой вычислительной техники - с другой.

3. ОБЪЕКТ И СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ, ОБОРУДОВАНИЕ

Объектом исследования является программно-математический комплекс и основные элементы вычислительного эксперимента по прогнозированию обтекания одиночного профиля плоским или осесимметричным безграничным потоком газа в реактивных снарядов.

Для выполнения лабораторной работы требуется наличие электронной вычислительной техники с установленным программным обеспечением.

4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Обтекание одиночного профиля плоским или осесимметричным безграничным потоком газа является широко распространенной задачей газодинамики. Вследствие невозможности реализации бесконечно протяженной модели необходимо, прежде всего, ограничить область движения. Проведенные эксперименты показали, что практически на расстоянии трех-пяти хорд от профиля поток можно считать невозмущенным (рис.1). В области невозмущенного потока все эквипотенциальные линии параллельны между собой, а линии тока ­ прямые линии, перпендикулярны к эквипотенциалям.

Рис.1. Характер течения в расчетной области.

При исследовании сверхзвуковых течений размеры области должны обеспечивать отсутствие воздействия возможных отраженных от границы скачков на тело.

В общем случае задаются следующие условия на границах (рис.2).

1. На левой границе области скорость имеет постоянное значение.

2. На правой и боковых границах области задается свободное вытекание потока.

3. На контуре обтекаемого тела задается условие непроницания или прилипания.

Рис.2. Форма расчетной области.

Форма обтекаемого профиля и параметры набегающего потока задаются преподавателем.

5. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.

1. Построить контур области течения и создать дискретную геометрическую модель для проведения вычислительного эксперимента.

2. Задать границы на созданной сетке.

3. Создать файл физических данных, включающий параметры компонентов потока, начальные данные и необходимые параметры численного решения.

4. Выполнить численное моделирование заданного варианта процесса до установления параметров.

5. Проанализировать параметры течения (давление, скорость, температуру, плотность).

6. Результаты расчета представить в виде эпюр параметров в характерных сечениях.

7. Ответить на контрольные вопросы.

6. УКАЗАНИЕ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА.

Каждый студент оформляет отчет, который должен содержать:

- постановку задачи;

- контур области течения и дискретную геометрическую модель, границы на созданной сетке;

- файл физических данных, включающий параметры компонентов потока, начальные данные и необходимые параметры численного решения;

- результаты численного моделирования в виде графиков и эпюр параметров (давления, скорости, температуры, плотности);

- анализ полученных результатов;

- ответы на контрольные вопросы.

7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. В чем различие между линией тока и функцией тока?

2. Объясните характер векторной диаграммы избыточного давления по профилю контура?

3. Что такое потенциал скорости?

4. Существует ли предел достижимой точности решения поставленной задачи?

5. В чем заключается проблема задания граничных условий при моделировании дозвукового течения?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3