Закон больших чисел. Теорема Чебышева

Из повседневного опыта известно, что массовые случайные явления обладают свойствами устойчивости средних. Это означает, что при независимых испытаниях случайной величины среднее арифметическое полученных значений при больших стабилизируется. Случайные колебания значений каждого испытания компенсируется и случайная величина , где есть -ое испытание величины при больших теряет свой случайный характер. Теоремы, описывающие подобные ситуации, называют законами больших чисел. Их несколько. Рассмотрим наиболее часто используемую из них.

Теорема Чебышева. Если , , …, – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то, как бы мало ни было положительное число

.

На практике чаще используется следующая формулировка этой теоремы.

Теорема. Пусть () – попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые распределения и , . Тогда имеет место соотношение:

,

для любого сколь угодно малого положительного числа .

Комментарий. Можно считать, что дана одна случайная величина , которая независимо испытывается раз, случайное значение -го испытания определяет величину . Теорема Чебышева утверждает, что малое (меньшее, чем ) отклонение среднего арифметического от математического ожидания весьма вероятно. Иными словами, почти всегда будет наблюдаться малое отклонение (при больших ).