Нормальное распределение. Определение.Распределение непрерывной случайной величины , заданное дифференциальной функцией распределения

Определение. Распределение непрерывной случайной величины , заданное дифференциальной функцией распределения

, (1)

где и – некоторые параметры, называется нормальным распределением.

Теорема. Если – нормально распределенная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (1), то

, , .

Теорема устанавливает, таким образом, вероятностный смысл параметров нормального распределения.

Нормальное распределение (нормальная случайная величина) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и в приложениях теории вероятности к практическим задачам.

Эта роль объясняется установленным фактом. Если известно, что изучаемая случайная величина складывается из большого количества случайных величин, каждое из которых оказывает лишь небольшое влияние на всю сумму, то можно считать, что распределена нормально.

Например, ошибка, допускаемая при измерении какой-либо физической величины, складывается, по-видимому, из большого числа ошибок, вызванных многочисленными причинами. Поэтому, как правило, случайная ошибка измерения имеет нормальное распределение.

Рассмотрим нормальное распределение более подробно.

График функции (1) изображен на рис. 14.1. Его можно получить из “стандартного графика” нормального распределения (, ) сдвигом на единиц вправо, с последующим растяжением по горизонтали относительно оси симметрии в раз. Функция табулирована. Она упоминается в формулировке локальной теоремы Муавра-Лапласа. Кривая симметрична относительно прямой . Точка является точкой максимума функции, а точки – точками перегиба. Чем больше , тем кривая положе.

Интегральный закон распределения, соответствующий дифференциальному закону (1), имеет вид:

. (2)

Интеграл (2) нельзя вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. Однако удобно выразить через табулированную функцию Лапласа:

. (3)

Именно,

. (4)

По интегральной теореме Муавра-Лапласа имеем:

(5)

или

, где .

Пример.

Величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что примет значение в интервале .

Решение.

.

Функция быстро убывает при . Площадь под всей кривой равна 1. Площади криволинейных трапеций над интервалами , и равны соответственно , , . Таким образом, почти вся площадь под кривой сосредоточена над интервалом . Поскольку площадь криволинейной трапеции численно равна вероятности того, что случайная величина примет значение в соответствующем интервале, имеем

.

Это утверждение составляет содержание правила “трех сигм” для нормального распределения: практически достоверно, что нормальная случайная величина с параметрами и принимает значения в интервале . Слова “практически достоверно” означают – с вероятностью .