Схема Бернулли. Пусть производится серия из испытаний, в каждом из которых событие может наступить, а может и не наступить

Пусть производится серия из испытаний, в каждом из которых событие может наступить, а может и не наступить. Пусть при этом выполнено следующее условие: вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний.

Последовательность испытаний, удовлетворяющую указанному условию, называют последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. Схема Бернулли полностью определяется двумя числами: количеством испытаний и вероятностью появления события в одном испытании – .

Теорема. Вероятность того, что в последовательности из испытаний в схеме Бернулли событие наступит ровно раз выражается формулой:

, (). (1)

Доказательство.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в испытаниях событие наступит раз равно (по теореме умножения независимых событий). Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из элементов по , т.е. . Все они несовместны. По теореме сложения имеем:

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример 1.

Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты выпадет ровно 3 герба.

Решение.

, , , .

.

Пример 2.

Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты количество гербов окажется в пределах .

Решение.

Очевидно, что при больших значениях в схеме Бернулли использовать формулу (1) весьма затруднительно (сложно вычислить ). Обычно в этих случаях используют следующие теоремы: