Формула Бейеса

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их обычно называют гипотезами. Вероятность появления события при этом определяется формулой полной вероятности:

.

Допустим, что произведено испытание, и в результате него появилось событие . Поставим задачу определить, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие уже наступило, т.е. будем искать условные вероятности , , …, .

По теореме умножения имеем:

.

Отсюда

или

. (1)

Аналогично получаем:

, . (2)

Формула (2) называется формулой Бейеса. Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания (появилось событие ).

Пример.

Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке удовлетворяющим стандарту, действительно стандартно.

Решение.

Событие – “изделие признано стандартным”,

гипотеза – “изделие стандартно”, ,

гипотеза – “изделие нестандартно”, .

(изделие признано стандартным, при условии, что оно действительно стандартно),

(изделие признано стандартным, при условии, что оно нестандартно).

Нас интересует вероятность . По формуле Бейеса имеем:

.