Формула полной вероятности. Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , ,

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий , , …, и условные вероятности , , …, события . Ответ на вопрос как при этом найти вероятность события дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

. (1)

Доказательство.

По условию, событие может наступить, если наступит одно из несовместных событий , , …, . Другими словами, появление события означает осуществление одного из несовместных событий , , …, . По теореме сложения имеем:

.

Формулу (1) называют формулой полной вероятности.

Пример.

Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1 и две коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна – 0,8, а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что взятая деталь стандартная.

Решение.

Событие – “взятая деталь стандартная”;

событие – “взята коробка завода № 1”, ;

событие – “взята коробка завода № 2”, ;

(вероятность, что взятая деталь стандартная, при условии, что выбрана коробка завода № 1);

(вероятность, что взятая деталь стандартная, при условии, что выбрана коробка завода № 2).

.