 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
|
|
Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пример 1.
Одновременно стреляют по мишени 2 стрелка. Если 
– попадание в мишень 1-го, 
– попадание 2-го, то 
состоит в том, что оба стрелка попали в мишень.
Определение. Вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается 
.
Пример 2.
В урне 3 белых и 2 черных шара. Из нее дважды вынимают по одному шару (не возвращая обратно). Найти вероятность появления черного шара при втором извлечении, если известно, что первый раз вынули белый шар.
Решение.
Пусть событие – “из урны во второй раз извлекли черный шар”,
событие – “из урны в первый раз извлекли белый шар”.
Нас интересует .
, 
. (Для сравнения: с возвратом 
).
Теорема 1. Вероятность произведения событий и равна произведению вероятности события на условную вероятность события , при условии, что событие произошло, т.е.
.
Доказательство.
Пусть 
– общее число несовместных элементарных исходов испытания,
– число элементарных исходов, благоприятных событию ,
– число элементарных исходов, благоприятных событию ,
– число элементарных исходов, благоприятных событию .
.
, 
.
Определение. Событие называется независимым от события , если появление события не изменит вероятности события , т.е.
.
Следствие 1. Если случайное событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Доказательство.
Действительно, 
.
.
(
).
Замечание 1. Таким образом, для независимых событий теорема умножения имеет вид:
.
Замечание 2. Теорему умножения можно расширить на случай событий.
Пример 3.
Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: “появился герб” и “появилось 6 очков”.
Решение.
Событие – “появился герб”, 
;
событие – “появилось 6 очков”, 
.
События и – независимые события 
.
Пример 4.
В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение.
Событие – “из первого ящика вынули стандартную деталь”, 
,
событие – “из второго ящика вынули стандартную деталь”, 
.
.
Пример 5.
В студии 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 
. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
Решение.
Событие – “ в данный момент включена хотя бы одна камера”.
I способ.
Событие 
– “1-я камера включена”,
событие 
– “2-я камера включена”,
событие 
– “3-я камера включена”.
; 
.
Тогда искомая вероятность равна
.
II способ.
.
.
Пример 6.
Вероятность поражения цели первым стрелком при выстреле равна 
, а вторым – . Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.
Решение.
Событие – “цель поражена только одним стрелком”,
событие – “в цель попал первый стрелок”,
событие – “в цель попал второй стрелок”.
.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 263 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
